La física utiliza a veces una técnica llamada método de los diferenciales, que parece mágica y poco sistemática. Esto me hace dudar de qué variable debo tomar la diferencial, y a veces, cuando elijo diferentes diferenciales, obtengo un resultado erróneo en mis cálculos (lo cual puede ser culpa mía). Así que me pregunto, en los cálculos de física, ¿la eliminación de diferenciales de orden superior es una aproximación a nivel físico o es estrictamente igual a nivel matemático? (Las derivaciones en física siempre me incomodan... no es tan satisfactorio como las matemáticas).
Respuesta
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¿la eliminación de diferenciales de orden superior es una aproximación a nivel físico o es estrictamente igual a nivel matemático?
Por desgracia, la respuesta es que depende. Los diferenciales pueden encontrarse en varios contextos matemáticos diferentes.
Con el análisis estándar, el cálculo puede expresarse en términos de límites de funciones de números reales. En ese contexto, en una expresión con diferenciales de varios órdenes es posible que los términos de orden superior lleguen a cero en el límite y los de orden inferior no. Este es el enfoque del análisis estándar que, aunque no es el más intuitivo, es (como su nombre indica) el enfoque estándar.
Sin embargo, en el análisis no estándar existen muchos sistemas numéricos diferentes. En el sistema numérico hiperreal, los infinitesimales de orden superior siguen siendo distintos de cero. En cambio, en el sistema numérico dual, los infinitesimales de orden superior son exactamente cero por definición. Estos sistemas numéricos, que incluyen los números infinitesimales como números legítimos, son más intuitivos que el análisis estándar, pero son menos conocidos. No requieren límites.
