Pido disculpas por ser una pregunta muy muy vaga.
Como experiencia personal, nunca he tenido la sensación de haber comprendido del todo la teoría de los sistemas de raíces en álgebras de Lie y grupos Lie/algebraicos (los llamaré LAGLAG para abreviar). Mi respuesta "psicológica" a estos objetos parece ser: son realmente "feos" y antinaturales, ¿de dónde vienen? Por supuesto, podemos decir, de acuerdo, elaboremos la teoría del sl2sl2 entonces todo es una generalización "natural" de casos más fáciles. Pero esta explicación no me satisface.
Llevo mucho tiempo preocupándome por estas cosas. Y probablemente la verdadera pregunta es, ¿tienen estos sistemas de raíces alguna interpretación geométrica (realmente bonita, realmente simple)? Por ejemplo, ¿es posible que estén relacionados de alguna manera con algún espacio topológico bonito, alguna gavilla, alguna cohomología, etc.? ¿Y tienen alguna contrapartida en otras ramas de las matemáticas? (me parece que sólo aparecen en lugares como los objetos LAG), ¿aparecen en algunos otros lugares (probablemente sorprendentes)?
En realidad, como sabemos, el estudio de los propios objetos LAG está estrechamente relacionado con sus teorías de representación. Y su teoría de la representación son también objetos que parecen difíciles de visualizar de alguna manera geométrica "fácil". Sé que probablemente podemos poner estas cosas como una categoría y hacer algo de geometría algebraica abstracta con ellos. Pero aún así, no podemos evitar usar estas técnicas ad-hoc con ellos. (como sistemas de raices, diagramas de Dynkin, etc, etc)
Quizás debería parar aquí. En cualquier caso, espero que esta pregunta no se cierre como spam. Y espero que alguien pueda entender algo de mi confusión y arrojar algo de luz (geometría) sobre ella. Gracias.
