Hay que tener en cuenta que el proceso que comienza con los GAL y termina con los sistemas de raíces no es "functorial". Para que todo quede bien definido, limitaré la atención a las álgebras de Lie semisimples de dimensión finita sobre $\mathbb C$ . Luego están los mapas { clases de isomorfismo de álgebras de Lie complejas s.s. } ↔ { clases de isomorfismo de los diagramas de Dynkin } y a nivel de clases de isomorfismo, los dos mapas son inversos entre sí. De hecho, hay un maravilloso mapa functorial que va ←, es decir, de diagramas de Dynkin a álgebras, que fue elaborado por Serre, creo (tal vez Chevalley). Pero el mapa → requiere hacer todo tipo de elecciones: elegir una subálgebra de Cartan, elegir una noción de "positivo" para ella. Sea $\mathfrak g$ sea el álgebra de Lie y $\mathfrak h$ el Cartan elegido; entonces el grupo $\operatorname{Aut}(\mathfrak g)$ actúa transitivamente sobre las elecciones del sistema simple, y el estabilizador es precisamente $\mathfrak h$ . (O, mejor dicho, en $\operatorname{Aut}(\mathfrak g)$ hay automorfismos "internos" y automorfismos "externos", y los internos actúan de hecho transitivamente, y $\operatorname{Out}/\operatorname{Inn}$ actúan como automorfismos de diagramas no triviales. Por "precisamente $\mathfrak h$ " Quiero decir que el estabilizador es $\exp\, \mathfrak h \subset \operatorname{Inn}$ .) Por tanto, el espacio de elecciones es un espacio homogéneo para $\operatorname{Inn}(\mathfrak g)$ (que es el grupo más pequeño que integra $\mathfrak g$ ) basado en $\operatorname{Inn}(\mathfrak g)/\exp(\mathfrak h)$ . Pero, en fin, la cuestión es que $\exp(\mathfrak h)$ actúa de forma no trivial sobre $\mathfrak g$ pero, como he dicho, trivialmente en el diagrama de Dynkin, y por lo tanto trivialmente en el grupo que se construye a partir del diagrama de Dynkin.
Puede que por eso no le guste la noción de sistemas raíz: realmente hay que hacer elecciones para identificar álgebras con sus sistemas raíz. Es algo así como elegir una base para un espacio vectorial: estupendo para los cálculos, pero no muy geométrico. Un ejemplo concreto: para $\mathfrak{sl}(V) = \{x\in \operatorname{End}(V) \text{ s.t. }\operatorname{tr}(x)=0\}$ la elección de un sistema de raíces equivale a la elección de una base (ordenada) para el espacio vectorial $V$ .
Por otra parte, afirmo que debe como la teoría de la representación de un LAG. Una forma de estudiar esta teoría de la representación (me atrevería a decir que "la mejor forma") es elegir un sistema raíz para su LAG y observar cómo $\mathfrak h$ actos, etc. Entonces, por ejemplo, representaciones irreducibles de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple $\mathfrak g$ se corresponden biyectivamente con formas de etiquetar el diagrama de Dynkin con enteros no negativos. Así que usted puede realmente conseguir sus manos en la teoría de la representación.
Pero las representaciones de un grupo $G$ es algo muy geométrico. Hay una especie de "espacio", llamado " $BG$ " o " $\{\text{pt}\}/G$ ", para lo cual las representaciones de $G$ son lo mismo como haces vectoriales en este espacio. Si no te gusta pensar en "un $G$ th de un punto", existen modelos homotópicos-teóricos de $BG$ .
También debe pensar en categorías como geométrico. Piensa en el caso en que $G$ es un grupo abeliano (finito). Entonces quizá recuerdes la dualidad de Pontrjagin: las representaciones irreducibles de $G$ son iguales que los puntos del grupo dual $G^\vee$ . Entonces, al menos para $G$ un LAG semisimple, se podría pensar en sus representaciones finito-dimensionales como si fueran los puntos de algún "espacio" $G^\vee$ . La diferencia es que en el caso abeliano, todos los puntos de $G^\vee$ corresponden a representaciones unidimensionales, mientras que en el caso no abeliano semisimple en general los puntos son "más grandes". Los puntos están parametrizados por la red de pesos positivos, pero no son en realidad la red de pesos positivos. Pero el espacio " $G^\vee$ "es un espacio no canónicamente isomorfo a la red de pesos positivos. De nuevo, es como si el plano euclidiano fuera isomorfo no canónico al plano cartesiano.
