Sea $N \unlhd G$ y que $N \leqslant H \leqslant G$ . Demuestre que $N \unlhd H$ .

Question

Sea $N \unlhd G$ y que $N \leqslant H \leqslant G$ . Demuestre que $N \unlhd H$ .

$N \unlhd G$ implica que existe algún homomorfismo $f$ en $G$ para lo cual $N = ker(f)$ . Queremos demostrar que existe un homormorfismo $f'$ en H tal que $N = ker(f')$ .

Edita:

Prueba. La función $f: G \to G/N$ es un homorfismo de grupo suryectivo con $ker(f) = N$ . Para $a,b \in G$ tenemos $f(ab) = abN$ y $f(a)f(b) = (aN)(bN) = abN$ demostrando que $f$ es un homomorfismo. Para $a \in G$ tenemos $$a \in ker(f) \Longleftrightarrow aN = N \Longleftrightarrow a \in N.$$ Esto demuestra $ker(f) = N$ . Por fin, $f$ es suryectiva, ya que todo coset izquierdo es de la forma $aN = f(a)$ para algunos $a \in G$ . Desde $H \leqslant G$ podemos definir un mapa $f':H \hookrightarrow G \to G/N$ , $h \mapsto aN$ para $h \in H \leqslant G$ . De ello se deduce que $f'$ es también un homomorfismo suryectivo y que $ker(f') = N$ . Así $N \unlhd H$ . $\text{ } \Box$

¿Es correcta esta prueba?

Answer 1

Pista: $N$ es normal en $G$ porque conjugándolo por cualquier elemento de $G$ lo deja invariante. Elementos de $H$ son elementos de $G$ .

Answer 2

Considere $H \hookrightarrow G \to G/N$

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Edición: (Con respecto a su edición)

Su prueba se ve bien, sólo algunas cosas que mencionar:

• no es necesaria la subjetividad de ningún mapa (se da pero no es necesaria). Además, si un mapa $G \to M$ no es suryectiva, se factorizará a través de un mapa suryectivo, ya que la imagen $M'$ del mapa es un subgrupo. Por tanto, tenemos $G\to M' \to M$
• probablemente un error tipográfico, pero el mapa $f':H \hookrightarrow G \to G/N$ es $h \mapsto hN$
• de ahí $f'$ no es necesariamente suryectiva. (pero como se mencionó anteriormente no necesitamos eso)
• si ya entra en detalles podría mencionar por qué $ker(f')=N$ (que es fácil)

Como último comentario, permítanme mencionar que las propiedades del mapa cociente se suelen dar por supuestas, porque son muy básicas. Pero si lo usas la primera vez es bueno demostrarlo todo.