A lo largo de "curva" significa curva proyectiva suave sobre un campo algebraicamente cerrado.
Motivación y antecedentes
He leído en alguna parte que Atiyah ha clasificado los haces vectoriales en curvas elípticas. Mi comprensión es que la historia es más o menos: cada vector bundles se rompe como un directo algunos de indecomposable vector bundles. Los haces vectoriales indecomponibles se dividen a su vez por su grado y rango. El conjunto $Ind(d,r)$ de clases de isomorfismo de haces vectoriales indecomponibles de grado fijo $d$ y rango $r$ tiene la estructura de variedad isomorfa al jacobiano de la curva; es decir, la propia curva. De hecho $Ind(d,r) \cong Ind(0, gcd(d,r) )$ por lo que basta con considerar el grado $0$ paquetes vectoriales.
Ahora para $V,V'$ haces vectoriales en cualquier curva $C$ es cierto que $\deg V \otimes V' = \deg V\cdot rk(V') + \deg V'\cdot rk(V)$ . Así, en el caso de una curva elíptica, el conjunto $Ind(0,r)$ es un torsor para $Pic^0(C)$ . Además, existe una única clase de isomorfismo $V_r \in Ind(0,r)$ se caracteriza por el hecho de que $h^0(V_r) \ne 0$ (de hecho $h^0(V_r)=1$ ).
La pregunta
Dado que las curvas de bajo género suelen ser "lo suficientemente sencillas" como para describirlas explícitamente con facilidad, me gustaría ver hasta qué punto puedo ser explícito con una descripción del $V_r$ o al menos $V_2$ . Así que mi pregunta es simplemente, dada una curva elíptica explícita en $\mathbb{P}^2$ , digamos $zy^2 - x(x-z)(x+z)$ ¿puede mostrar razonablemente cómo construir $V_2$ es decir, dar cocyles por ello $\phi_{ij} \colon U_{ij} \to GL_2(k)$ ¿o producir un módulo graduado para ello?
Reflexiones iniciales
$V_2$ debe corresponder a la única extensión no trivial en $Ext^1(\mathcal{O}, \mathcal{O}) \cong H^1(\mathcal{O}) \cong k$ En una curva $C$ , $0 \to \mathcal{O}_C \to K(C) \to K(C)/\mathcal{O}_C \to 0$ es una resolución flasque de la gavilla de estructura y un elemento en $H^1(\mathcal{O}_C)$ corresponde a un mapa $\alpha \colon \mathcal{O}_C \to K(C)/\mathcal{O}_C$ . Entonces la extensión deseada debería ser el pullback de $0 \to \mathcal{O}_C \to K(C) \to K(C)/\mathcal{O}_C \to 0$ vía $\alpha$ .
El problema con esto es que no puedo precisar lo que $\alpha$ es. Ahora que, mediante la dualidad de Serre, corresponde a una sección global de $H^0(\omega_C)$ que puedo describir explícitamente como un diferencial en la curva. Utilizando el ejemplo que he mencionado anteriormente, en el parche afín donde $z \ne 0$ Lo es: $\frac{dx}{2y} = -\frac{dy}{3x^2-1}$ pero creo que no entiendo la dualidad de Serre lo suficientemente bien como para determinar $\alpha$ de esto. Además, ni siquiera estoy seguro de si esto conducirá a una forma razonable de llegar a los cocylces de $V_2$ . Y esto está tan cerca de "simplemente usar las definiciones" que tengo que imaginar que podría haber una mejor manera de hacerlo...
