Se extraen cuatro barras sin reemplazo de diez barras marcadas a partir de $1$ a $10$ . Hallar la probabilidad de que el número más pequeño sea $5$ .

Question

Una bolsa contiene diez barras marcadas de $1$ a $10$ . Se dibujan cuatro barras sin reemplazo, se anota el número. Hallar la probabilidad de:

i. El número más pequeño es $5$ .

ii. El mayor número es $5$ .

Mi intento:

i. Para el número más pequeño $5$ $\to$ casos favorables $5,6,7,8,9,10$ (sin ordenar)

espacio de probabilidad total: $\binom{10}{4}$

Pr(de ser el número más pequeño 5): $\dfrac{\binom{6}{4}}{\binom{10}{4}}$

ii. para el mayor número $5$ $\to$ casos favorables es $1,2,3,4,5$ (sin ordenar)

espacio de probabilidad total: $\binom{10}{4}$

pr(de ser el Mayor número 5): $\dfrac{\binom{5}{4}}{\binom{10}{4}}$

Estoy confundido acerca de cómo eliminar las otras posibilidades en ambos casos? Por ejemplo, el número más pequeño $5$ ¿cómo excluyo la probabilidad de no tener $1,2,3,4$ ?

Answer 1

Tenga en cuenta que para que el número más pequeño sea $5$ debe dibujar el $5$ y tres números cualesquiera $6,7,8,9$ y $10$ que se puede hacer en $\binom53=10$ formas. Del mismo modo, para que el mayor número sea $5$ debe dibujar el $5$ y tres números cualesquiera $1,2,3$ y $4$ que se puede hacer en $\binom43=4$ maneras.

Usted puede empezar con los cálculos que has hecho y restar los casos no deseados, pero ese planteamiento supone más trabajo del realmente necesario. En el primer problema, por ejemplo, se obtiene $\binom64$ formas de robar cuatro cartas de la baraja $\{5,6,7,8,9,10\}$ . Usted no quiere que los conjuntos de cuatro cartas extraídas del conjunto $\{6,7,8,9,10\}$ y hay $\binom54$ de esos, por lo que realmente tiene sólo $\binom64-\binom54=15-5=10$ posibilidades. Del mismo modo, en el segundo programa se quiere descartar el sorteo de $1,2,3$ y $4$ por lo que en lugar de $\binom54=5$ posibilidades, sólo tienes $\binom54-1=4$ posibilidades.

Answer 2

Lo que has calculado en i es la probabilidad de que el menor sea al menos $5$ No es que sea exactamente $5$ porque has calculado la probabilidad de que los cuatro estén en el rango $5$ a $10$ . Tienes que calcular el número de formas en que puedes obtener $5$ y tres de $6-10$ que es $\frac {1C1 \cdot 5C3}{10C4}$ .

Tiene un problema similar con ii.