¿Cómo se pasa de $\lim_{n \to \infty} \bigl( 1+ \frac{1}{3n} \bigr)^{2n}$ a $e^{2/3}$ ?

Question

Sea $n \in \mathbb{N}$ .

Quiero saber cómo se puede saber que

$$\lim_{n \to \infty} \bigl( 1+ \frac{1}{3n} \bigr)^{2n} = e^{2/3}$$

Sé que

$$\lim_{n \to \infty} \bigl(1 + \frac{x}{n} \bigr)^n = e^x$$

Pero, ¿qué "regla" ¿lo aplicamos en la secuencia anterior?

¿Y por qué este no ¿Trabajar? Si decimos $\frac{1}{3n} \to 0$ con $n \to \infty$ porque es una secuencia nula.

Entonces $\lim_{n \to \infty} (1 + 0)^{2n} = 1$ con $n \to \infty$

Answer 1

En términos más generales,

$\begin{array}\\ \left(1+\dfrac1{an}\right)^{bn} &=\left(1+\dfrac1{an}\right)^{(b/a)an}\\ &=\left(\left(1+\dfrac1{an}\right)^{an}\right)^{b/a}\\ &\to e^{b/a}\\ \end{array} $

Su caso es $a=3, b=2 $ así que $\frac{b}{a}=\frac23$ así que la respuesta es $e^{\frac23} $ .

Answer 2

Sea $u = 3n$ . Entonces

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{3n} \right)^{2n}$$ $$= \lim_{u \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{u} \right)^{(2/3)u}$$ $$= \left( \lim_{u \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{u} \right)^{u} \right)^{2/3} $$ $$= e^{2/3}$$

Answer 3

Si lo sabes: $$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n} \right)^n = e^x$$

y compáralo con el límite que tienes. En primer lugar, el exponente es $2n$ por lo que tal vez deberíamos intentar una sustitución de $m=2n$ . En $n\to\infty$ , $m\to\infty$ y viceversa, por lo que obtenemos:

$$\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{x}{2m} \right)^{2m} = e^x$$

(Y podemos renombrar $m$ volver a $n$ si queremos).

Buscamos un límite de $e^{2/3}$ por lo que no debería sorprendernos que $x=2/3$ nos dará lo que queremos:

$$e^{2/3}=\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2/3}{2n} \right)^{2n}=\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{3n} \right)^{2n}$$

---

Para ver por qué su argumento de que el límite es $1$ es defectuoso, considere este ejemplo:

(1) El límite de $n^n$ como $n\to 0$ es $0$ al aplicar $n\to 0$ a la base para obtener $0^n$ que es $0$ (como $n\to 0$ ).

(2) El límite de $n^n$ como $n\to 0$ es $1$ al aplicar $n\to 0$ al exponente para obtener $n^0$ que es $1$ (como $n\to 0$ ).

Pero entonces $0=1$ lo cual es claramente falso. Un límite no puede ser igual a dos cosas diferentes.

La contradicción surge de no tomar $n\to 0$ simultáneamente para cada instancia de $n$ en la expresión. Aquí, con $\lim_{n\to 0}n^n$ no hay un límite definido, pero en el caso que usted da hay es un límite. Pero el principio es el mismo: la variable $n$ es la misma en ambas partes de la expresión. De lo contrario, está calculando:

$$ \lim_{m\to\infty}\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{3n} \right)^{2m} $$

o:

$$ \lim_{n\to\infty}\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{1}{3n} \right)^{2m} $$