Suma sobre el producto acumulativo inverso de composiciones enteras

Question

He estado intentando resolver el siguiente problema: \begin{align} S(N,k) = \sum_{a_1,\dots,a_k\geq 1; \sum a_i = N} \frac1{a_1(a_1+a_2)\cdots(a_1+\cdots+a_k)}, \end{align} donde $N$ es un número entero positivo.

He visto la pregunta combinatoria: suma del producto de composiciones de números enteros y a partir de ahí encontró métodos para contar sumas de la forma $\sum\prod f(a_i)$ ¿pero eso no parece encajar aquí?

Eventualmente, quiero entonces llegar a la suma $\sum_{k\geq 1}S(N,k)\alpha^k$ con algún real positivo $\alpha$ . De hecho, una aproximación para $N\gg1$ ya sería útil.

Esto podría tener una solución conocida o ser obvio para un experto en combinatoria, pero no he sido capaz de encontrar algo.

Answer 1

En $(a_1,\dots,a_{k-1},a_k)$ se extiende sobre enteros positivos cuya suma es $N$ entonces $$(a_1,a_1+a_2,a_1+a_2+a_3,\dots,a_1+\dots+a_k)$$ abarcará subconjuntos de $\{1,\dots,N\}$ de tamaño $k$ que incluyen $N$ (escritos en orden creciente). Por lo tanto, \begin{align} S(N,k) &=\sum_{1\le b_1<\dots<b_{k-1}<N}\frac1{b_1\cdots b_{k-1}N} \\&=\frac1N\sum_{1\le b_1<\dots<b_{n-1}\le N-1}\frac1{b_1\cdots b_{k-1}} \\&=\frac1N[x^{k-1}](1+x)(1+\tfrac{x}2)\cdots (1+\tfrac{x}{N-1}) \\&=\frac1{N!}[x^{k}]x(1+x)(2+x)\cdots ((N-1)+x) \\&=\frac1{N!}{N\brack k} \end{align} donde ${N\brack k}$ es el $(N,k)$ Número de Stirling del primer tipo, igual al número de permutaciones de $\{1,\dots,N\}$ con $k$ ciclos. Es decir, $S(N,k)$ es la probabilidad de que una permutación aleatoria de este tipo tenga $k$ ciclos.

Un dato que hemos utilizado anteriormente es que $$ \sum_{k=0}^N {N \brack k}x^k=x(1+x)(2+x)\cdots (N-1+x) $$ lo que implica que $$ \sum_{k=0}^N S(N,k)\alpha^k=\frac{\alpha(1+\alpha)(2+\alpha)\cdots(N-1+\alpha)}{N!}=\binom{\alpha+N-1}{N}=(-1)^N\binom{-\alpha}{N} $$ así que tienes una "forma cerrada" muy bonita para tu suma. La ecuación anterior representa la función generadora de probabilidad para una variable aleatoria igual al número de ciclos de una permutación aleatoria de $N$ símbolos.