Demostrar que el conjunto de niveles de una función convexa es convexo pero que lo contrario no es necesariamente cierto.

Question

Tengo la siguiente pregunta:

Conjunto de niveles de una función $f(x)$ es un conjunto de la forma $\{x : f(x) c\}$ para diferentes constantes $c \mathbb{R}$ . Demuestre que cualquier conjunto de niveles de una función convexa es también convexo. Además, dar un ejemplo para demostrar lo contrario no es cierto, es decir, dar un ejemplo de una función simple de 1 dimensión tal que cualquiera de sus conjuntos de niveles es convexa, pero la función no es convexa.

Para ello tomé dos conjuntos $C$ y $D$ tal que:

$$D = \{x:f(x)\}\space x \in \Bbb R$$

y

$$C = \{x:f(x) \leq c\}\space x,c \in \Bbb R$$

así que $C \subset D$ por lo tanto, si $\space x_1,x_2 \in C\space$ entonces $\space x_1,x_2 \in D$ y puesto que $D$ es convexa, entonces $C$ debe ser convexa.

Sin embargo, estoy atascado en demostrar lo contrario, conceptualmente entiendo que quiero una función cuasiconvexa tal que cualquier conjunto de niveles sea convexo. En algunos sitios he leído que $\sqrt\mid x \mid$ encaja en el proyecto de ley, pero no puedo ver cómo lo hace. Gracias de antemano.

Answer 1

La implicación

$ \quad\qquad$ función convexa $\qquad \Rightarrow\qquad$ conjuntos convexos de nivel

es sencillo. Permítanme dar un contraejemplo para la implicación inversa. Puede ser $\ f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R\ $ dada por:

$$ f(x)\ :=\ x+sin(x) $$

Si tiene alguna duda, puede echar un vistazo al gráfico y, a continuación puede seguir con una prueba .

Answer 2

En general, las funciones con conjuntos de niveles convexos se denominan cuasiconvexo . Tales funciones se caracterizan de la siguiente manera: sea $I\subset\Bbb R$ sea un conjunto convexo (es decir, el interrval, tal vez impropio), $f:I\to\Bbb R$ . La función $f$ es cuasiconvexa si $f$ es monótona o existe $c\in \Bbb R$ s.t. $f$ no aumenta con $(-\infty,c)\cap I$ y $f$ es decreciente en $(c,\infty)\cap I$ .