¿Qué se deduce de suponer que no Con(ZF)?

Question

Hola.

Sea $\operatorname{sat} X$ denotan la satisfabilidad de una teoría $X$ .

Del segundo teorema de incompletitud de Gödel y de su teorema de completitud se deduce $$ZF \not\vdash \lceil \operatorname{sat} ZF \rceil$$ Suponiendo que $\operatorname{sat} ZF$ en la metateoría, también podemos decir que $$ZF \not\vdash \lnot \lceil \operatorname{sat} ZF \rceil$$ es decir, $\operatorname{sat} ZF$ es independiente de $ZF$ .

La mayoría de los textos que he leído sobre grandes cardenales asumen la consistencia de $ZF$ (y sistemas más sólidos creados sobre $ZF$ ). Me preguntaba si hay alguna investigación realizada sobre el sistema $ZF\cup \{ \lnot \lceil \operatorname{sat} ZF \rceil \}$ llamémoslo $ZF\bot$ en lo siguiente. Trivialmente $$ \operatorname{sat} ZF \Leftrightarrow \operatorname{sat} ZF\bot $$

Supongo que un modelo $\mathbb{ZF}$ de $ZF\bot$ tiene otro concepto de conjuntos "finitos", por lo que i adivina $$ \not\exists_{P(x)\in \operatorname{For}} \forall_{X\in \mathbb{ZF}} . P^{\mathbb{ZF}}(X) \Leftrightarrow |X|<\omega$$ porque $\mathbb{ZF}$ debe considerar algunos árboles de pruebas infinitos de $ZF\vdash\bot$ finito - pero no tengo ningún argumento formal para ello. Este documento parece estar algo relacionado, ya que se ocupa de la longitud de las pruebas de inconsistencia.

Sin embargo, salvo esto, no he encontrado nada relacionado, pero sería interesante saberlo.

Answer 1

Un modelo de ZF $\perp$ debe contener números naturales no estándar (por ejemplo, el número de Gödel de la prueba de una contradicción en ZF) y esto implica que no puede estar bien fundada (partiendo de un número no estándar, se puede definir un $\in$ -secuencia decreciente). Por lo tanto, si asumimos el axioma del fundamento como parte de ZF, su modelo $\mathbb Z\mathbb F$ debe ser un par $(M,R)$ donde la relación $R\subset M\times M$ no puede ser la verdadera relación de pertenencia, ya que ésta está bien fundamentada.

Por lo tanto, supongo que cuando se escribe $|X|$ en realidad se está hablando de la cardinalidad de la extensión de $X$ es decir $|\{x\in M\mid x\,R\,X\}|$ . La cardinalidad real de $X$ como conjunto no tendría relación directa con el modelo.

En este contexto, dicha fórmula $P(X)$ no puede existir. Si es así, se podría definir en $(M,R)$ el conjunto $S=\{n\in\omega\mid P(n)\}$ que sería el conjunto de todos los números naturales estándar. Se trataría de un conjunto inductivo ( $0\in S\land \forall n\in \omega (n\in S\rightarrow n+1\in S))$ pero $S\neq \omega$ . Por lo tanto, el principio de inducción fallaría en el modelo.