Consideremos la incrustación de Segre $(\mathbb P^1)^n \rightarrow \mathbb P^{2^n-1}$ . ¿Cuál es el ideal correspondiente a la imagen de esta incrustación? Se sabe que está generado por relaciones cuadráticas. ¿Existe alguna referencia adecuada donde las relaciones estén escritas explícitamente para este mapa particular en términos de $x_i$ y $y_i$ 's ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sea $(x_i:y_i)$ sean coordenadas homogéneas para el $i$ -ésima copia de $\mathbb{P}^1$ . Sea $(z_I)$ sean coordenadas homogéneas para $\mathbb{P}^{2^n - 1}$ donde $I$ abarca todos los subconjuntos de $[n] := \{1,2,\dots,n\}$ . (El primer obstáculo psicológico que hay que superar es posiblemente un prejuicio hacia el deseo de un orden lineal para las coordenadas. Esto me dio problemas cuando empecé a aprender geometría algebraica. Pero la cuestión es que el artilugio combinatorio más útil para indexar las coordenadas en $\mathbb{P}^{2^n-1}$ son subconjuntos de $[n]$ y no los elementos de $[2^n]$ .)
El mapa de Segre puede describirse como $$z_I = \prod_{i \in I} x_i \prod_{j \notin I} y_j.$$ Entonces debemos determinar la condición sobre los subconjuntos $I,J,K,L$ de $[n]$ tal que $z_I z_L = z_J z_K$ para todos los puntos de la imagen del mapa de Segre. Entonces, si pensamos en $I \cup L$ resp. $J \cup K$ como multiconjunto (contando un elemento $a \in I \cap L$ resp. $b \in J \cap K$ como multiplicidad 2 en $I \cup L$ resp. $J \cup K$ ), la condición para $z_I z_L - z_J z_K$ para pertenecer al ideal homogéneo que define la imagen del mapa de Segre es que $I \cup L = J \cup K$ como conjuntos múltiples.
Un ejemplo concreto $n = 5$ , $I = \{1,2,3\}$ , $L = \{1,5\}$ , $J = \{1,2,5\}$ , $K = \{1,3\}$ . Entonces $z_I z_L = z_J z_K$ en la imagen del mapa de Segre porque $I \cup L = J \cup K = \{1,1,2,3,5\}$ como conjuntos múltiples.
También hay que señalar que existe una biyección natural entre subconjuntos de $[n]$ y secuencias de $0$ y $1$ de longitud $n$ . Dado $I \subseteq \ [n]$ asociándole la secuencia $(a_1,a_2,\dots,a_n)$ donde $a_i = 1$ si $i \in I$ y $a_i = 0$ si $i \notin I$ . Así, algunos indexan coordenadas homogéneas en $\mathbb{P}^{2^n - 1}$ utilizando secuencias de $0$ y $1$ de longitud $n$ . En ese caso, el formalismo de conjuntos múltiples equivale a sumar las secuencias. Así, en el ejemplo concreto anterior, tendríamos $I \leftrightarrow (1,1,1,0,0)$ , $L \leftrightarrow (1,0,0,0,1)$ , $J \leftrightarrow (1,1,0,0,1)$ , $K \leftrightarrow (1,0,1,0,0)$ y $I \cup L = J \cup K \leftrightarrow (2,1,1,0,1)$ .
