¿Cuál es la sustitución adecuada para esta ecuación?

Question

Necesito resolver esta ecuación: $x^\frac{1}{3}+x^\frac{1}{7}=2(x^5)^\frac{1}{21}.$

No encuentro la sustitución que lo reduzca a un sistema o ecuación sin raíces.

Answer 1

$$\text{The equation can be rewritten as follows:}$$

$$x^{\frac{7}{21}} + x^{\frac{3}{21}} = 2(x^{\frac{5}{21}})$$

$$$$

$$\text{Now, let } y = x^{\frac{1}{21}}:$$

$$y^7 + y^3 = 2y^5 \implies y^7 - 2y^5 + y^3 = 0$$

$$$$

$$\text{If } y = 0, \text{ then } x = 0, \text{ else we have: }$$

$$y^4 - 2y^2 + 1 = 0 \implies (y^2 - 1)^2 = 0 \implies y^2 = 1$$

$$$$

$$\text{Hence, } y \in \{-1, 0, 1\}.$$

$$\text{And thus, } x \in \{-1, 0, 1\} \text{ since } x = y^{21}.$$

Answer 2

No sé qué ha querido decir con sustitución "adecuada". Pero usted puede resolver esta ecuación como sigue:

$y^{21}=x$

Entonces obtendrá $ y ^7 + y^3 = 2y^5 $ . Por lo tanto $ y^3(y^4-2y^2+1) = 0 $ .

Y tienes que $y^3 = 0 $ ou $ (y^4-2y^2+1) = 0 $ . La segunda ecuación es bicuadrática.

http://mathworld.wolfram.com/BiquadraticEquation.html