Dado un elemento del (primer) grupo de homología de una superficie, me gustaría saber si se puede representar como una curva cerrada simple. Para superficies orientables, esto es bien conocido, pero no he podido encontrar una referencia para no orientable superficies.
Para las superficies orientables, la esfera con $g$ asas tiene homología $\mathbb{Z}^{2g}$ y un elemento $(a_1, \dots, a_{2g}) \in \mathbb{Z}^{2g}$ puede representarse mediante una curva cerrada simple si y sólo si $gcd(a_1, \dots, a_{2g})=1$ . Esto es clásico y en realidad no es demasiado difícil de demostrar.
Para las superficies no orientables, la esfera con $k$ crosscaps tiene homología $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}^{k-1}$ . Sea $(a, b_1, \dots, b_{k-1}) \in \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}^{k-1}$ . Si $k$ es impar y $gcd(b_1, \dots, b_{k-1})=1$ podemos representar este elemento como una simple curva, independientemente del valor de $a$ por el caso orientable. Pero hay otras clases de homología que no son de esta forma y que pueden representarse mediante curvas simples. Por ejemplo $(0,2,0) \in \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}^2$ puede representarse mediante una simple curva en la esfera con 3 cruces. Por cierto, ya que estoy, también me gustaría saber por qué es habitual utilizar $\mathbb{Z}_2$ -homología cuando se trabaja con superficies no orientables, a diferencia de $\mathbb{Z}$ -homología (que es lo que estoy utilizando).
