Hallar un polinomio sólo a partir de sus raíces

Question

Dado $\alpha,\,\beta,\,\gamma$ tres raíces de $g(x)\in\mathbb Q[x]$ un polinomio mónico de grado $3$ . Sabemos que $\alpha+\beta+\gamma=0$ , $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=2009$ y $\alpha\,\beta\,\gamma=456$ . ¿Es posible encontrar el polinomio $g(x)$ ¿sólo de estos?

He estado trabajando con el grado de la extensión $\mathbb Q \subseteq \mathbb Q(\alpha,\,\beta,\,\gamma)$ . He descubierto que debe ser $3$ porque $g(x)$ es el polinomio irreducible de $\gamma$ en $\mathbb Q(\alpha,\,\beta)$ . Pero hay algo que no se sostiene, debe haber algunas de estas raíces que no son algebraicas o algo así. Puede que este planteamiento sea totalmente erróneo. ¿Hay alguien que sabe cómo hacer frente a este problema?

Answer 1

El polinomio es $(x-a)(x-b)(x-c)$ siendo las raíces $a,b,c$ . Al decir "tres raíces" se da a entender que todas ellas son diferentes. Ten en cuenta que cuando se multiplican y se juntan los coeficientes tienes tres funciones simétricas en las raíces. Por ejemplo, el término constante es $-abc$ mientras que el coeficiente de grado 2 es $-(a+b+c)$ . El coeficiente de grado 1 es $ab+ac+bc$ que puede escribirse como $$\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}.$$ Así que parece que puedes obtener todos los coeficientes de la mónica a partir de los dados que tienes.

Nota: Acabo de ver el comentario de copper.hat, que esencialmente dice lo mismo que esta respuesta. Lo dejaré por ahora por si el autor de la pregunta lo necesita (o incluso puede utilizarlo...).

Answer 2

Recall $\rm\:g(x) = (x-a)(x-b)(x-c) = x^3\! - s_1 x^2 + s_2 x - s_3\:$ donde el $\rm\,s_i\:$ son los polinomios simétricos elementales. Se le da $\rm\,s_1,\,s_3\,$ y buscas $\rm\,s_2,\,$ dado también el polinomio simétrico $\rm\,p_2 = a^2+b^2+c^2.\:$ Por el Teorema fundamental de los polinomios simétricos, cada polinomio simétrico se puede escribir de forma única como un polinomio en los polinomios simétricos elementales, utilizando un algoritmo muy simple debido a Gauss. Recordemos cómo funciona.

Si $\rm\ a^i\ b^j\ c^k\ $ es el mayor monomio en el polinomio simétrico $\rm\:p(a,b,c)\:$ (en relación con diccionario lex order donde $\rm\ a > b > c),\: $ luego reste $\rm\ s_1^{i-j}\ s_2^{j-k}\ s_3^k\:.\:$ El resultado es un polinomio simétrico con menor grado lex, por lo que iterando esta reducción se obtiene una representación de $\rm\:p(a,b,c)\:$ como un polinomio en los polinomios simétricos elementales $\rm\:s_i\:.\:$

Apliquemos el algoritmo de Gauss a tu polinomio simétrico $\rm\,p_2.\:$ Aquí desde $\rm\:p_2\:$ tiene el término más alto $\rm\ a^{\color{#C00}2} b^0 c^{\color{#0A0}0} $ en orden lex, restamos de $\rm\,p_2$ el término $\rm s_1^{\color{#C00}2-0}\, s_2^{0-\color{#0A0}0}\ s_3^{\color{#0A0}0} =\, s_1^2 = (a+b+c)^2$ cediendo

$$\rm a^2 + b^2 + c^2 - (a + b + c)^2 =\, 2\,(ab + bc + ca)$$

Esto tiene un monomio principal $\rm\: 2\, a^{\color{#C00}1} b^1 c^\color{#0A0}0,$ así que para matarlo restamos $\rm\: 2\, s_1^{\color{#C00}1-1} s_2^{1-\color{#0A0}0} s_3^{\color{#C00}0} = 2\, s_2\ $ cediendo

$$\rm 2\,(ab + bc + ca) - 2\, s_2 = 0 $$

Así hemos demostrado $\rm\:p_2 - s_1^2 = 2\,s_2,\:$ lo que nos permite resolver $\rm\:s_2\:$ ya que sabemos $\rm\:p_2,\,s_1.\:$

En términos más generales, esto conduce a una simple recursión que da como resultado la forma cerrada Identidades de Newton expresando las sumas de potencias en términos de funciones simétricas elementales. Por supuesto, podría haberte remitido simplemente a esta página de Wikipedia para buscar dicha fórmula. Pero eso no sería de mucha ayuda cuando tuvieras que hacer lo mismo con otros polinomios simétricos, como probablemente harás, ya que esas simetrías son omnipresentes.

Answer 3

Algoritmo sobre el teorema fundamental de los polinomios simétricos