Subíndice de multiplicación

Question

Me estoy enseñando algo de geometría diferencial con la esperanza de entender bien la teoría gauge. En la definición del haz de pullback me encontré con una notación extraña que nunca había visto antes. El haz de pullback se definía, con $f: M \to N$ como

\begin{equation} f^\ast \mathcal{E} \equiv (f^\ast E, f^\ast \pi, M , F), \end{equation} donde el espacio total viene dado por \begin{equation} f^\ast E \equiv N \times_M E := \{ (x,z) \in N \times E | f(x) = \pi(z) \}. \end{equation}

¿Qué significa el subíndice $\times$ operador? ¿Tiene algo que ver con la operación que se produce en el colector $M$ ?

Answer 1

Se trata de una operación en que a veces se denomina "producto de fibras", y que tiene otros nombres y una formalización general en teoría de categorías (ver el comentario de @Riquelme). Nunca he visto esta notación particular para ello, pero sin embargo tiene una especie de sentido.

La idea es que se le dan dos funciones, ambas con el mismo objetivo $M$ en este caso $f : N \to M$ y $\pi : E \to M$ . Quieres formar una especie de producto restringido de $N$ y $E$ que podría denominarse el "producto de $N$ con $E$ en $M$ ". Es un subconjunto del producto "verdadero" y se define mediante la fórmula que has dado.

Se puede formar un producto de fibras en muchas categorías diferentes: los grupos y los espacios topológicos son dos lugares en los que veo productos de fibras de vez en cuando (probablemente relacionado con el hecho de que soy teórico de grupos geométricos).

En tu situación, el producto de fibra se pone a trabajar para formar haces de retroceso en varias categorías de haces, como haces vectoriales o haces de fibra.