Sea $g$ sea una función continua diferenciable $[0,1]$ y $a≤g'(x)≤b$ para todos $x\in [0,1]$

Question

Sea $g$ sea una función continua diferenciable $[0,1]$ y $ag'(x)b$ para todos $x\in [0,1]$

Entonces demuestre que :

$$\frac{b^2}{12}\int_0^{1}g^{2}(x)dx-\left(\int_0^{1}g(x)dx\right)^{2}\frac{a^2}{12}$$

Estoy intentando usar Hölder ? Pero no sé cómo.

¿No tengo ninguna idea para demostrar esta desigualdad?

Creo que esto está relacionado con la teoría de la medida.

Si alguien tiene idea por favor me dice.

Answer 1

Asumiré que $a, b>0$ y el lado derecho es $a^{2}/12$ no $a^{2}/10$ . (En caso contrario, hay un contraejemplo.) Por el Teorema del Valor Medio, tenemos $$ a\leq \frac{g(y) - g(x)}{y-x} = g'(c) \leq b\Rightarrow a(y-x) \leq g(y)-g(x) \leq b(y-x) $$ para cualquier $y>x$ . Por cierto, $$ \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} (g(y)- g(x))^{2} dydx = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} g(x)^{2} - 2g(x)g(y) + g(y)^{2} dydx = 2 Var(g) $$ donde $$ Var(g) = \int_{0}^{1} g(x)^{2} dx - \left( \int_0^1 g(x)dx\right)^{2} $$ lo que implica $$ \frac{a^{2}}{12} = a^{2}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(x-y)^{2}dydx \leq Var(g) \leq b^{2}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(x-y)^{2}dydx = \frac{b^{2}}{12} $$