El producto simétrico de una variedad $M$ es el cociente de $M^n/S_n$ donde $S_n$ es el grupo simétrico que permuta los componentes del producto de n pliegues $M^n$ . SI $M$ es un plano afín $C^k$ sobre números complejos, el anillo de coordenadas del producto simétrico son los polinomios invariantes en $R:=C[x^1_1,...,x^1_k, x^2_1,...,x^2_k,... ,x^n_1,...,x^n_k]$ bajo la acción de $S_n$ donde $S_n$ permuta las variables $x_i^1,...,x_i^n$ simultáneamente para $i=1,...,k$ . Quiero conocer el subring invariante $R^{S_n}$ en términos de generadores y relaciones. ¿Alguien podría ayudarme?
Respuestas
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Esos polinomios invariantes se llaman funciones multisimétricas . Hay varios trabajos sobre ellas; se podría empezar por J. Dalbec, Multisymmetric functions, Beiträge Algebra Geom. 40(1) (1999), 27-51 http://www.emis.de/journals/BAG/vol.40/no.1/b40h1dal.ps.gz .
Mario Marinato -br-
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Las relaciones pueden ser complicadas. Las funciones multisimétricas de grado hasta n generan el anillo, pero de forma muy redundante. En el lema 2.2 de
http://annals.princeton.edu/annals/2006/163-2/p11.xhtml
Venkatesh y yo mostramos que usted puede conseguir con el uso de muchos menos de estas funciones multisimétricas, si se contentan con generar un subring de R^{S_n} cuyo campo de fracciones es de índice finito en el campo de fracciones de R^{S_n}.
nik
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Puede que esté cometiendo un error muy trivial [Editar: sí, efectivamente], pero ¿no es eso?
$(\mathbb{A}^k)^{(n)}=(\mathbb{A}^k)^n/S_n\cong(\mathbb{A}^n)^k/S_n\cong(\mathbb{A}^n/S_n)^k\cong(\mathbb{A}^n)^k$
con anillo de coordenadas afín $\mathbb{C}[\sigma_1,\cdots,\sigma_n]^{\otimes k}$ (donde $\sigma_d=\sigma_d(x_1,\cdots,x_n)$ es el grado $d$ función simétrica en el $n$ variables $x_1,\cdots, x_n$ ) ?
