Si $f:\mathbb{C}→\mathbb{C}$ es una función continua en un todo $\mathbb{C}$ conjunto y diferenciable en un conjunto $\mathbb{C}$ \ $\mathbb{R}$ . Demostrar que $f$ es diferenciable en un todo $\mathbb{C}$ set. La prueba debe basarse en el teorema de Morera.
Respuesta
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He aquí un esbozo de un planteamiento sencillo. Aunque puede haber posibilidades más sencillas:
Sólo nos interesan las trayectorias de integración que "cortan" el eje real. Sea $a$ , $b$ sean puntos del eje real, $\gamma_1$ sea un camino desde $b$ a $a$ en el semiplano superior (parte imaginaria $>0$ ) y $\gamma_2$ un camino desde $a$ a $b$ en el plano medio inferior. Ambos $\gamma_1$ y $\gamma_2$ no debe cortar el eje real en ningún otro punto.
El objetivo es demostrar que la integral de $f$ desaparece a lo largo de la unión $\gamma_1 \cap \gamma_2$ . Considere una ruta $\beta_1$ de $a$ a $b$ en el plano medio superior. La unión $\gamma_1 \cap \beta_1$ es entonces una curva cerrada en el semiplano superior a lo largo de la cual la integral de $f$ desaparece por suposición. Construir un camino $\beta_2$ en el semiplano inferior.
La suma de las integrales a lo largo de $\gamma_1 \cap \beta_1$ y $\gamma_2 \cap \beta_2$ desaparece. Ahora encontrar una manera de construir series de caminos $\beta^i_1,\;\beta^i_2$ para que $\beta^i_1$ y $\beta^i_2$ se acercan unos a otros para $i\to\infty$ . En el límite, la integral de $f$ a lo largo de la unión $\beta_1^i \cap \beta_2^i$ desaparecerá debido a la continuidad de $f$ y los caminos se acercan entre sí con orientación opuesta (!) (¡tenlo en cuenta al construirlos!).
Debido a la integral a lo largo de la $\beta$ anulándose en el límite, nos quedará la integral a lo largo de $\gamma_1 \cap \gamma_2$ siendo cero (qed).
La parte no trivial es la construcción del $\beta$ y aplicando los argumentos de continuidad. Esto puede resultar tedioso dependiendo de lo que ya se haya demostrado.
