Intersección de planos en un espacio vectorial de cuatro dimensiones

Question

Considere $V$ un espacio vectorial de cuatro dimensiones. Sea $v_1,v_2,v_3$ sean tres vectores linealmente independientes y las rectas que abarcan $L_1,L_2,L_3$ respectivamente. Sea $W\subset V$ un subespacio bidimensional.

Puede $L_1\oplus L_2$ , $L_1\oplus L_3$ y $L_2\oplus L_3$ todos tienen una intersección unidimensional con W?

Obviamente, esto no puede ocurrir en $3$ dimensiones con sólo pensar en la $L_i$ como planos de coordenadas. Pero las cuatro dimensiones son un poco difíciles de visualizar.

No dude en suponer que el campo de tierra tiene la característica $0$ .

Answer 1

En realidad, es posible. Dejemos que $L_1,L_2,L_3$ sean los tramos de $e_1,e_2,e_3$ respectivamente. $W=\text{Span}(e_1+e_2,e_3)$ Entonces puedes ver que

• $(L_1\oplus L_2) \cap W=\text{Span}(e_1+e_2)$
• $(L_1\oplus L_3) \cap W=\text{Span}(e_3)$
• $(L_2\oplus L_3) \cap W=\text{Span}(e_3)$

Así que todos son unidimensionales como se desea.