¿Puede considerarse la exponenciación como un morfismo de grupo?

Question

En este vídeo de "Three Blue One Brown" sobre la teoría de grupos https://www.youtube.com/watch?v=mvmuCPvRoWQ

la operación de exponenciación se presenta como un morfismo de grupo, es decir, una función que preserva la estructura de un grupo aditivo a un grupo multiplicativo.

la rápida justificación proporcionada en 16:52 es la ley de exponentes $n^{a+b} = n^a\times n^b$ . Creo que el autor sólo toma esta ley como ejemplo de una "propiedad exponencial" más general que aparece regularmente en la teoría de grupos.

¿Hay alguna forma no demasiado complicada de precisar esta idea?

Answer 1

La propiedad de homomorfismo es $h(x+y)=h(x)+h(y)$ . El mapa exponencial $h:(\Bbb R,+)\to(\Bbb R^+,\cdot)$ dado por $h(x)=e^x$ cumple esta propiedad. Tenemos $h(x+y)=e^{x+y}=e^x\cdot e^y=h(x)\cdot h(y)$ .