¿Cuántos números de cuatro cifras, en los que todos los dígitos son distintos, contienen al menos uno de 2 y 4 y no tienen ceros a la izquierda?

Question

En primer lugar, no estoy muy seguro de lo que se pregunta en esta pregunta (hay muchas preguntas muy vagas en el libro de texto que estoy utilizando y me ha causado cierta frustración), y estoy asumiendo una interpretación del enunciado.

Esta es la cuestión:

¿Cuántos números enteros entre 1.000 y 10.000 hay con dígitos distintos y debe aparecer al menos uno de 2 y 4?

Entiendo que debe aparecer al menos un 2 Y al menos un 4. También puede interpretarse como al menos un 2 o un 4, de modo que un número que contenga un dos y ningún cuatro es válido. Si hay una razón específica por la que una interpretación es mejor que la otra, por favor, hágamelo saber.

Asumiendo la primera interpretación:

Como 10000 no incluye ni 2 ni 4, se puede ignorar y la pregunta se reduce a lo que puse como título. Para descifrar el resto de la pregunta, garabateé esto (no es nada formal):

Let A be a digit whose value is either 2 or 4.
Let B be a digit whose value is neither 2 nor 4.

The different combinations of four digit numbers with distinct digits and at
least one 2 and at least one 4 are represented by the sequences:

BBAA, BABA, BAAB, ABBA, ABAB, AABB

Esto me da: $$(7 * 7 * 2 * 1) + (7 * 2 * 7 * 1) + (7 * 2 * 1 * 7) +$$ $$(2 * 8 * 7 * 1) + (2 * 8 * 1 * 7) + (2 * 1 * 8 * 7) = 630$$

La segunda interpretación en realidad no cambia mucho el método, sólo da como resultado esto en su lugar (10.000 también se ignora aquí):

Let A be a digit whose value is either 2 or 4.
Let B be a digit whose value is not that of A.

BBBA, BBAB, BABB, ABBB

Lo que me da:

$$(8 * 8 * 7 * 2) + (8 * 8 * 2 * 7) + (8 * 2 * 8 * 7) + (2 * 9 * 8 * 7) = 3696$$

¿Son correctas estas respuestas y, por extensión, mi método para obtenerlas?

Answer 1

Existen $8 \cdot 7 = 56$ formas de elegir los otros dos dígitos. La forma de disponer cuatro dígitos distintos es $4! = 24$ . Así que la respuesta es $56 \cdot 24 = 1344$ .

EDITAR Para aclarar tu confusión, la pregunta es: ¿cuántas formas hay de ordenar los dígitos 0,1,...,9 dada la restricción de que no pueden aparecer dos dígitos más de una vez; y que 2 y 4 deben aparecer (precisamente una vez)?

EDITAR Si no permitimos ceros a la izquierda, la cuestión es un poco más complicada.

En primer lugar, calcula el número cuando excluimos el cero por completo: $7 \cdot 6 \cdot 24$ .

A continuación, supongamos que tenemos un 0,2 y un 4 y sólo tenemos libertad para la elección final. Esto da 7 opciones para el dígito final. Hay 24 disposiciones posibles, pero 6 tienen un cero en la posición inicial. Así que hay 18 disposiciones permitidas. Dando un $7 \cdot 18$ posibles acuerdos.

Ahora $7 \cdot 6 \cdot 24 + 7 \cdot 18 = 1134.$

Answer 2

Empecemos así. Supongamos que 2 y 4 son los dos primeros dígitos. Entonces tenemos el número 2 4 _ _. Ahora, podemos hacer 8*7 para encontrar los otros 2 números. Pero podemos reordenar estos números de 4 = 24 maneras. Así que la respuesta es 24*56=1344.

Editar: lo siento

Edit 2: Lo siento, me di cuenta de mi error después de leer su solución, no era mi intención tratar de copiar su solución de ninguna manera.

Edición 3: dado que el 0 no puede ser el primer dígito, ¿no elimina esto algunos casos?

Edición 4: Los ceros a la izquierda no están permitidos, no hay ambigüedad al respecto.

Answer 3

Mi interpretación del texto en el cuerpo del post es que los únicos números malos son los que fallan tanto $2$ y $4$ . Calculamos el número de números buenos, para que puedas comparar con tu segundo cálculo.

Primero olvídate del $2$ , $4$ cosas. Si no tenemos ninguna restricción, entonces el número de números con dígitos distintos, de $1000$ a $9999$ es $(9)(9)(8)(7)$ .

El número de números erróneos con dígitos distintos (por lo que faltan los dos $2$ y $4$ ) es $(7)(7)(6)(5)$ .

Resta.