¿Terminología estándar para límites infinitos con signo opuesto en los dos lados?

Question

Considera los siguientes límites:

$$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x^2}$$

$$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x}$$

Hasta donde yo sé, la mayoría de los autores dicen como una cuestión de terminología que estos límites no existen y no están definidos, ya que no tienen valores numéricos reales. Para el primero, podemos escribir

$$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x^2}=\infty,$$

mientras que creo que la mayoría de los autores dirían que fue falso que

$$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x}=\infty,\qquad \text{(FALSE)}$$

ya que los límites unilaterales tienen signos opuestos. ¿Cuál es la forma más estándar de describir verbalmente la segunda situación en contradicción con la primera? Es cierto que el límite no existe y no está definido, pero ¿cómo comunicar, sin ser demasiado engorroso, el hecho de que es aún más travieso y malo que el primero? Espero que haya algún verbalismo que no sea tan torpe como "un límite que es infinito y tiene el mismo signo por los dos lados" frente a "un límite que es infinito y tiene signos opuestos por los dos lados".

Varios comentarios y respuestas han afirmado que $\lim 1/x^2$ se describe verbalmente como definido o existente, mientras que $\lim 1/x$ se describe como indefinido o inexistente. Por lo que puedo deducir del papel y de las fuentes en línea que tengo a mano, esto no es lo habitual. La terminología estándar parece ser que ambos de estos límites se consideran inexistentes e indefinidos.

Answer 1

Yo diría simplemente que la función tiene límites unilaterales infinitos con signo opuesto en el punto, o la función tiene infinitos límites unilaterales de signos opuestos en el punto, donde "unilateral" puede sustituirse por "unilateral" si se desea. Obsérvese que en tal caso el valor absoluto de la función tiene un límite bilateral infinito (es decir, de dos lados) en el punto. Sin embargo, es posible que el valor absoluto de una función tenga un límite bilateral infinito en un punto sin que exista ningún límite unilateral (finito o infinito), como por ejemplo ocurre con la función $$ f(x)=\begin{cases} q & \text{if} & x = \frac{p}{q} \; \text{and} \;\; q \;\; \text{is even} \\ -q & \text{if} & x = \frac{p}{q} \; \text{and} \;\; q \;\; \text{is odd} \\ \frac{1}{x} & \text{if} & x \notin \mathbb Q \\ 0 & \text{if} & x=0 \end{cases} $$ en $x=0,$ donde $p$ y $q$ son números enteros no nulos relativamente primos y $q > 0.$

Answer 2

Utilizamos $+$ y $-$ como subíndices. Como en $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = + \infty \qquad \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = - \infty$$ Una abreviatura de la no existencia es el símbolo $\nexists$ Así que $\nexists \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}$ .