¿Hay alguna forma de calcular $\int_0^\infty \frac{\cos (qt) J_1 (qr)}{1+q^2} \, \mathrm{d} q$ siempre que $0<t<r$ ?

Question

En una situación de integral dual, tiene que intervenir la siguiente integral $$ \int_0^\infty \frac{\cos (qt) J_1 (qr)}{1+q^2} \, \mathrm{d} q \quad\quad (0<t<r) \, . $$

Visiblemente esta integral es convergente. Me preguntaba si es posible una expresión analítica aceptable. Sería útil para mi análisis posterior.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Gracias.

R

Answer 1

Después de @cansado y utilizando dos identidades integrales conocidas, podemos calcular la integral. Fijemos $r > 0$ y considerar $I$ definido por

$$I(t) = \int_{0}^{\infty} \frac{\cos (tq) J_1 (rq)}{1+q^2} \, dq. $$

En el intervalo $(0, r)$ satisface la siguiente 2ª EDO

$$ I(t) - I''(t) = \int_{0}^{\infty} \cos(tq)J_1(rq) \, dq, \qquad I(0) = \int_{0}^{\infty} \frac{J_1 (rq)}{1+q^2} \, dq, \quad I'(0) = 0. $$

Tenemos dos integrales desconocidas adicionales, pero se pueden calcular utilizando DLMF 10.22.59 y DLMF 10.22.46 para $0 < t < r$ ,

$$ \int_{0}^{\infty} \cos(tq)J_1(rq) \, dq = \frac{1}{r} \quad \text{and} \quad \int_{0}^{\infty} \frac{J_1 (rq)}{1+q^2} \, dq = \frac{1}{r} - K_1(r) \tag{*}$$

Así pues, el problema se reduce a resolver

$$ I(t) - I''(t) = \frac{1}{r}, \qquad I(0) = \frac{1}{r} - K_1(r), \quad I'(0) = 0. $$

Ahora bien, la solución general de esta ecuación es de la forma

$$ I(t) = \frac{1}{r} + A \cosh t + B \sinh t $$

y aplicando la condición inicial se obtiene $A = -1$ y $B = 0$ . Por lo tanto

$$ \int_{0}^{\infty} \frac{\cos (tq) J_1 (rq)}{1+q^2} \, dq = \frac{1}{r} - K_1(r) \cosh t, \qquad 0 < t < r. $$

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p.d. Me encantaría ver una solución autónoma ya que no entiendo muy bien $\text{(*)}$ .