Un buen ejemplo de argumento irrebatible

Question

A mis alumnos les cuesta asumir lo que deben demostrar. Un buen ejemplo de lo que están haciendo es cuando se quiere demostrar que $\lim_{x\to 3}(2x+1)=7$ . Asumirán que $|(2x+1)-7|<\epsilon$ y luego derivar $|x-3|<\frac{\epsilon}{2}$ . No hay ningún daño real aquí, ya que cada paso del argumento se puede invertir. Pero, técnicamente, hay que suponer $|x-3|<\frac{\epsilon}{2}$ y derivar la otra desigualdad.

Me gustaría un buen ejemplo de un "Si $P$ entonces $Q$ "donde si uno intenta asumir $Q$ derivar $P$ y luego trabajar hacia atrás, hay un paso en el camino que no tiene marcha atrás.

¿Qué entiendo por buen ejemplo? El "if-then" debería ser FALSE. Y la declaración y los pasos del argumento deben ser muy fáciles de entender. Intenté hacer uno en clase usando $\epsilon-\delta$ pero creo que el concepto de límite está un poco por encima de sus cabezas ahora mismo. Así que prefiero que las matemáticas no se interpongan en su camino.

EDIT: Es increíble lo que una mala palabra puede hacer. Lo he editado para que diga "El "si-entonces" debe ser FALSO". Por lo tanto lo que @Dan Shved dijo en su respuesta donde $Q\Rightarrow P$ es verdad. Preferiría uno un poco más sutil que los ejemplos en los que se divide por $0$ por error para demostrar $1=0$ . Los alumnos saben que deben evitar dividir por variables.

Answer 1

Puede que no sea exactamente lo que quieres, pero aquí tienes un ejemplo algebraico. Sea $P$ decir "números $a$ y $b$ tienen el mismo signo y $a^2 = b^2$ ". Sea $Q$ decir "a = b".

Ahora, si empiezas desde $Q$ se concluye inmediatamente que $a=b$ sus signos son los mismos, y también $a^2 = b^2$ . Así que $Q$ implica $P$ obviamente.

Ninguno de los dos pasos individuales anteriores (" $a=b \to a^2=b^2$ " y " $a = b \to \operatorname{sign} a = \operatorname{sign} b$ ") puede invertirse. Implicación $P \to Q$ es cierto, pero no se puede demostrar "trabajando hacia atrás" a partir del argumento anterior.

Creo que tal vez un ejemplo más instructivo sería una implicación $P \to Q$ es decir falso pero $Q \to P$ es cierto. Entonces usted demuestra una derivación de $P$ a partir de $Q$ y si alguien piensa que así has demostrado $P\to Q$ simplemente demuestra que $P \to Q$ no es verdad...

ACTUALIZACIÓN : una vez más, creo que mi ejemplo anterior, aunque parece válido, no sirve para que los alumnos que cometen este tipo de error se den cuenta. Tal vez debería presentar argumentos aparentemente correctos que en cierto modo demuestren $4=5$ o algo así, debido a descuidadas inversiones de implicación. $4=5$ en la conclusión debería hacer pensar a una persona sensata que algo estaba mal en el argumento. Si ven un mal argumento que sigue demostrando una afirmación correcta, dudo que les moleste tanto.

Answer 2

La pregunta es algo confusa. ¿Se trata de un ejemplo?

Si $n$ es un primo impar, entonces $\operatorname{gcd}(n,2) = 1$ .

1. Supongamos que $m > 1$ divide $n$ y $2$ .

2. Entonces $m =2$ porque los únicos divisores de $2$ son $1$ y $2$ .

3. Pero, como $n$ es un primo impar, $2$ no divide $n$ .

4. Por lo tanto, el único divisor de $2$ que también divide $n$ es $1$ .

5. Por lo tanto $\operatorname{gcd}(n,2) = 1$

El paso (3) claramente no se invierte.