Signo de los coeficientes

Question

Sea $a_0,a_1,\dots$ sea la secuencia que satisface $$ \left(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n+1}\right)=1. $$ Esto significa que $a_0=1$ y $a_{n+1}=-\sum_{j=0}^n\frac{a_j}{n+2-j}$ . Se obtiene $a_1=-\frac12$ y $a_3=-\frac{13}{720}$ .

La primera pregunta y la más importante es: ¿Es cierto que todos los coeficientes $a_n$ para $n\ge 1$ son estrictamente negativos?

En segundo lugar, ¿hay alguna relación con, por ejemplo, los números de Bernoulli o cualquier otra secuencia que lleve un nombre?

Answer 1

Estos números (con signos alternos) se denominan números de Bernoulli del segundo tipo o números de Cauchy. Se pueden encontrar dos pruebas de que estos números son negativos en http://people.brandeis.edu/~gessel/homepage/slides/analysis-nec.pdf .

Otra referencia es

Merlini, Donatella; Sprugnoli, Renzo; Verri, M. Cecilia, Los números de Cauchy. Discrete Math. 306 (2006), no. 16, 1906-1920.

La determinación del signo de estos números puede encontrarse mucho antes en la obra de Charles Jordan Cálculo de diferencias finitas página 267.

Answer 2

Como la segunda serie se puede calcular explícitamente, se tiene $$\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n = -\frac{x}{\ln(1-x)}.$$ Ahora puedes calcular explícitamente una relación de recurrencia que te dé el valor exacto de $a_n$ calculando diferenciales iteradas en $0$ de esta función analítica. O deduzca explícitamente el signo de $a_n$ que creo que no es demasiado difícil, pero ahora mismo no tengo tiempo para hacerlo