Suma de números catalanes

Question

¿Qué es la $C_1 +C_2 + C_3 +... + C_n$ donde cada $C_i$ ¿es el número catalán? Quiero saber si podemos acotar esta suma mediante alguna función de $n$ . Busco un límite superior. Seguro que es menor que $2^{2n}$ . ¿Podemos decir que es menor que $2^{\log_2(2n)}=2n$ ?

Answer 1

Aprovechando la representación integral de los números catalanes : $$C_n = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{4}x^n\sqrt{\frac{4-x}{x}}\,dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{1}4^n x^n\sqrt{\frac{1-x}{x}}\,dx$$ que tenemos: $$\begin{eqnarray*}S_N=\sum_{n=1}^{N}C_n &=& \frac{8}{\pi}\int_{0}^{1}\frac{1-4^N x^N}{1-4x}\sqrt{x(1-x)}\,dx.\end{eqnarray*}$$ Calculando la derivada de la función integrando es sencillo comprobar que $f_N(x)=\frac{1-4^N x^N}{1-4x}\sqrt{x(1-x)}$ alcanza su máximo cerca: $$x = \frac{5N-1+\sqrt{9N^2-18N+1}}{8N}=1-\frac{1}{2N}-\frac{1}{6N^2}+O\left(\frac{1}{N^3}\right)$$ por lo que es posible aproximar $S_N$ calculando los valores de $f_N(x)$ y $f_N''(x)$ en el punto estacionario $x_N$ como es habitual en el método del punto de silla de montar. Tenemos: $$f_N(x)\leq\frac{4^N}{\sqrt{eN}}$$ $$f_N''(x_N)=-\frac{4^{N+1}\sqrt{2}}{3\sqrt{e}}N^{3/2}\left(1+O\left(\frac{1}{\sqrt{N}}\right)\right)$$ por lo tanto:

$$\color{blue}{ S_N \leq \frac{20\cdot 4^N}{9\sqrt{e\pi}\,N^{3/2}}.}$$