$n$ composición de funciones cuando $n \to \infty$

Question

Sea $x \in \mathbb{R}$ y $n \in \mathbb{N}$ . Sea $f(x)$ sea continua en todo el dominio de $a<x<b$ . Sea la composición de funciones $f^{(n)}(x) =f(f(...f(x)))$ . Sea $g(x)$ definido por

$$g(x)= \lim_{n \to \infty}f^{n}(x)$$

Es $g(x)$ ¿Continuo? ¿Cómo puedo probarlo?

Answer 1

$g$ no tiene por qué ser continua; de hecho $g$ no está necesariamente bien definido. Como contraejemplo, tomemos $a=-b=1$ y $f(x)=-x$ Entonces $f^n(x)$ es alternativamente $\pm x$ de ahí $\lim_{n \to \infty} f^n(x)$ no existe para $x$ .

Answer 2

No. $g(x)$ no tiene por qué ser continua aunque exista, lo cual, como señala reuanis, podría no ser el caso.

Toma $f: [0,1] \to \mathbb R$ , $f(x) = x^2$

Entonces te darás cuenta rápidamente de que $f^n$ tiende puntualmente a

$$g(x) = \begin{cases}0 & x, \in [0,1) \\ 1, & x = 1\end{cases}$$

que presenta un salto en $x = 1$ .