Como se describe a continuación, las $n$-gon es una "suma" de regular $\left\lbrace\frac{n}{k}\right\rbrace$-ágonos, con $k = 0, 1, 2, \cdots, n-1$. Esto puede dar lugar a un vector de números complejos que sirve para caracterizar la forma del polígono.
Dado polígono $P$, se comienza por la elección de un "punto" en la forma de un distinguido a partir del vértice, $v_0$, así como el preferido para el seguimiento de dirección, en el universo de los polígonos convexos, podemos, sin ambigüedades, tomar la dirección "siempre en sentido antihorario"-- para obtener una lista de los sucesivos vértices $v_0, v_1, \dots, v_{n-1}$. Escribir $[P]$ para el vector cuyas $j$-ésimo elemento es el punto del Plano Complejo en el que el $j$-ésimo vértice de $P$ mentiras.
Definir el "estándar regular $\left\lbrace\frac{n}{k}\right\rbrace$-gon", $P_k$, como el polígono cuyas $j$-ésimo vértice coincide con el número complejo a $\exp\frac{2\pi i j k}{n}$. (Como formas, $P_k$ $P_{n-k}$ ( $k \ne 0$ ) son idénticos, pero que se trazan en direcciones opuestas.)
Ahora, cualquier $n$-gon es la "suma" de rotar y escalar imágenes de la $P_k$s, en el sentido de que podemos escribir
$$[P] = r_0 [P_0] + r_1 [P_1] + \cdots + r_{n-1} [P_{n-1}]$$
con cada complejo de $r_j$ efectuar la correspondiente rotación y escala. (Determinar el $r_j$s por la lectura de la anterior como $n$ componente sabio ecuaciones. La solución es, sin duda, única.) Por lo tanto, el vector $R(P) := (r_0, r_1, \dots, r_{n-1} )$ exactamente codifica el polígono como una figura en el plano.
Tenga en cuenta que, para $k > 0$, polígono $P_k$ está centrada en el origen, mientras que todos los vértices del polígono $P_0$ coinciden en el complejo número de $1$. En consecuencia, el $P_0$ componente de la descomposición de cantidades a una traslación de elementos, identificar el centro de gravedad (promedio de vértice puntos) de la figura. Como nos preocupa la forma sin importar su posición, se puede suprimir (o ignorar) las $r_0$ componente de $R(P)$. Desde un polígono de la forma es independiente de la figura de la orientación de rotación, que elija para normalizar $R(P)$ por la rotación de los elementos a través de un ángulo que se alinee $v_0$ con el positivo-eje real, de llegar a nuestro $C(P)$:
$$C(P) := \frac{1}{\exp(i\arg{v_0})} R(P) = \frac{|v_0|}{v_0} (r_1,r_2,\dots,r_{n-1})$$
Si los polígonos $P$ $Q$ son congruentes (compatible con distinguidos vértices y seguimiento de las direcciones), luego tenemos a $C(P) = C(Q)$. Al $P$ $Q$ son casi congruentes, $|C(P)-C(Q)|$ será pequeño, y viceversa.
Nota: Al $P$ $Q$ son similares (compatible con distinguidos vértices y seguimiento de las direcciones), tenemos $\frac{C(P)}{|C(P)|} = \frac{C(Q)}{|C(Q)|}$.
Editar
Como se señaló en los comentarios, esta $C(P)$ no es invariante bajo permutaciones cíclicas de los vértices. Vale la pena investigar exactamente qué efecto una permutación cíclica.
Considere el triángulo $P$$[P] = ( v_0, v_1, v_2 )$. La correspondiente regular $P_k$ cifras dadas por
$$[P_0] := ( 1, 1, 1 )$$
$$[P_1] := ( 1, w, w^2 )$$
$$[P_2] := ( 1, w^2, w )$$
donde $w = \exp\frac{2\pi i}{3}$.
Fácilmente podemos resolver la ecuación para obtener la descomposición
$$R(P) = (r_0, r_1, r_2) = \frac{1}{3} \left( v_0+v_1+v_2 \;,\; v_0 + v_1 w^2 + v_2 w \;,\; v_0 + v_1 w + v_2 w^2 \right)$$
Si $P'$ es idéntica a $P$, pero con cíclicamente re-ordenados de vértices, $[P'] = ( v_1, v_2, v_0 )$, luego
$$R(P') = \frac{1}{3} \left( v_1+v_2+v_0 \;,\; v_1 + v_2 w^2 + v_0 w \;,\; v_1 + v_2 w + v_0 w^2 \right) = ( r_0 \;,\; w r_1 \;,\; w^2 r_2 )$$
Observar que $w r_1 [P_1] = r_1 ( w, w^2, 1 )$ de los rendimientos del mismo polígono como $r_1 [P_1] = r_1 ( 1, w, w^2 )$, excepto que sus vértices han sido cíclicamente re-ordenó. De la misma manera por $w^2 r_2 [P_2]$ (e $w^0 r_0 [P_0]$, para el caso). Lo mismo vale para los arbitraria $n$-ágonos.
Por lo tanto, como una familia de formas poligonales, la descomposición en componentes normales es independiente de permutación cíclica, como es el de la correspondencia entre los vértices de los componentes y de los vértices del polígono. Esto es, en nuestro triángulos $P$$P'$,$v_0 = r_0 + r_1 + r_2$, e $v_1 = r_0 + w r_1 + w^2 r_2$, e $v_2 = r_0 + w^2 r_1 + w r_2$, independientemente de donde cada una de las $v_k$ aparece en $[P]$ o $[P']$. Por desgracia, el $R(\cdot)$ vector no es suficiente para capturar esta invariancia; y $C(\cdot)$'s la dependencia de la distinguida vértice no ayudar a los asuntos.
$R(\cdot)$ $C(\cdot)$ no son completamente inútiles, sin embargo. Los módulos, $|r_k|$, que el rendimiento de los radios de las componentes normales, son invariantes para los polígonos.
Edición 2. Tal vez mi $C(\cdot)$ proporciona un instrumento confiable, comparable, caracterización, después de todo ... con la salvedad de que no exigimos igualdad entre $C(P)$ $C(Q)$ para congruentes $P$$Q$, sino, más bien, una adecuada noción de equivalencia.
Incorporar la característica de punto, vamos a suponer que nuestros polígonos se colocan con función de punto de origen; la traslación de componente, $P_0$, entonces se convierte en significativo, por lo que no vamos a suprimir el elemento correspondiente de $C(\cdot)$.
Deje $r = C(P) = \frac{|u_0|}{u_0}(r_0, r_1, r_2, \dots, r_{n-1})$ e $s = C(Q) =
\frac{|v_0|}{v_0} (s_0, s_1, s_2, \dots, s_{n-1})$ be two $C$-vectors with respect to starting vertices $u_0$ and $v_0$ in polygons $P$ and $P$, respectively. Define "$r \equiv s$" iff, for all $k$ and some fixed integer $m$, we have $\frac{|v_0|}{v_0} s_k = \frac{|u_0|}{u_0} r_k w^{km}$, where $w = \exp \frac{2 \pi i}{n}$. That is, $|s_k| = |r_k|$, and $\arg(r_k) - \arg(s_k) + 2 \pi k m/n \equiv \arg(u_0) - \arg(v_0) \mod 2 \pi$. (I suspect there's a cleaner way to express this.) Then $P \cong P$, with compatible feature points, if and only if $C(P) \equiv C(Q)$. (If we don't need feature points, we can position our polygons with their average-of-vertices centroids at the origin and suppress the $0$-th components of $C(\cdot)$.)
Con esto, sólo tenemos que determinar la mejor manera de medir el grado de no-equivalencia para la incongruencia de las figuras.
