Ayuda con la diferenciación implícita: Hallar la ecuación de una tangente a un punto dado de una curva

Question

Al trabajar con un conjunto de problemas que contienen problemas de diferenciación implícita, me he dado cuenta de que sigo obteniendo la respuesta incorrecta en comparación con la que aparece en la parte posterior de mi libro.

El problema se plantea así: Utiliza la diferenciación implícita para hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en un punto dado

x^2 + xy + y^2 = 3

Con punto dado (1, 1) . También me han dicho que es una elipse.

Para resolverlo, evidentemente debo diferenciar ambos lados del problema:

1: dy/dx ( x^2 + xy + Y^2 ) = dy/dx(3)

2: dy/dx (2x + 1y'+ 2yy') = 0

3: 1y' + 2yy' = 0 - 2x

4: y'(1+2y) = -2x

5: y' = -2x/(1+2y)

Hurra, así que ahora que tengo la primera derivada de Y. Puedo usarlo para encontrar la pendiente en el punto.

Pendiente en el punto (1,1)= -2( 1 ) / (1+2( 1 )

Pendiente en el punto (1,1)= -2/3

Así que ahora que tengo mi pendiente, sé que la ecuación de la tangente será de la forma:

y=mx+b

Así que, dado que ahora conozco la pendiente:

y=-2/3x + b

Sustituye el punto conocido:

1 = -2/3(1) + b

b = 5/3

Así que la respuesta final que obtengo es: y = -2/3x + 5/3

Pero según la respuesta, se supone que sí: -x + 2 No sé en qué me he equivocado, y lo he hecho dos veces para asegurarme de que obtengo la misma respuesta. ¿Podría alguien ayudarme?

Answer 1

Cometiste un error al diferenciar implícitamente. No aplicó la regla del producto $(fg)' = f'g + fg'$ al término $xy$ . Teniendo en cuenta que $y$ es función de $x$ debe obtener

$$(xy)' = 1y + xy' = y + xy'$$

Por lo tanto, al diferenciar

$$x^2 + xy + y^2 = 3$$

implícitamente con respecto a $x$ debe obtener

$$2x + y + xy' + 2yy' = 0$$

Resolución de $y'$ produce

\begin{align*} xy' + 2yy' & = -2x - y\\ (x + 2y)y' & = -2x - y\\ y' & = -\frac{2x + y}{x + 2y} \end{align*}

Como puede comprobar, la evaluación $y'$ en el punto $(1, 1)$ produce $y' = -1$ . Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es $y = -x + 2$ .