Explicación de una simple observación en el blog de Terry Tao sobre el proceso de Wiener

Question

Citando a Blog de Terry Tao :

Una observación simple pero fundamental es que $n$ -dimensional Brow es invariante de la rotación: más precisamente, si $(X_t)_{t \in [0,+\infty)}$ es un $n$ -proceso Wiener dimensional con inicial $0$ y $U \in O(n)$ es cualquier transformación ortogonal sobre ${\bf R}^n$ entonces $(UX_t)_{t \in [0,+\infty)}$ i con posición inicial $0$ y, por tanto, tiene la misma distribución:

$(UX_t)_{t \in [0,+\infty)} \equiv (X_t)_{t \in [0,+\infty)}$ .

En última instancia, esto se debe a que el $n$ -distribuciones normales dimensionales $N(0,\sigma^2 I)_{{\bf R}^n}$ son manifiestamente invariantes de la rotación (véase el Ejercicio 10 de Notas 1).

No tengo la solución del Ejercicio 10 y no veo directamente cómo está relacionado. ¿Podría alguien aclarar con más detalle cómo se explica que el movimiento browniano sea invariante de la rotación? (Para demostrar que todas las condiciones no cambian).

Answer 1

Sea $W_t$ ser un $n$ -movimiento browniano dimensional. Entonces, por supuesto sabemos que $t \mapsto W_t(\omega)$ es continua en todas partes para cada $\omega$ en un juego de medidas completo. $W_0 = 0$ a.s. y $[W^i,W^j]_t = \delta_{ij}t$ donde $W^i$ es el $i^{\text{th}}$ coordenada de $W$ y $\delta_{ij}$ es el delta de Kronecker. Finalmente, $(W^i_t)_t$ es una martingala para cada $i=1,\ldots,n$ .

Defina $X_t(\omega) = RW_t(\omega)$ para cada $t$ y $\omega$ donde $R$ es una matriz de rotación. Para cada $\omega$ tal que $t \mapsto W_t(\omega)$ es continua, $t \mapsto RW_t(\omega)$ también es continua. $X_0 = 0$ a.s. también.

Sea $X^j$ denotan el $j^{\text{th}}$ coordenadas del proceso $X$ . Entonces, $X^j_t = R^jW_t$ donde $R_j$ es el $j^{\text{th}}$ fila de $R$ . Para $s \leq t$ , $$E[X^j_t \mid \mathcal{F}_s] = E[R^jW_t \mid \mathcal{F}_s] = R^jE[W_t \mid \mathcal{F}_s] = R^jW_s =: X^j_s$$ Así que $X$ es una martingala en sí misma.

Sea $R^i_k$ denotan la fila $i$ , columna $k$ elemento de $R$ .

$$[X^i,X^j]_t = [R^iW,R^jW]_t = [\sum_{k=1}^nR^i_kW^k,\sum_{k=1}^nR^j_kW^k]_t = t\sum_{k=1}^nR^i_kR^j_k$$

Desde $R$ es una matriz de rotación, $R^{\top}R = I$ . Por lo tanto $\sum_{k=1}^nR^i_kR^j_k = \delta_{ij}$ .

Entonces, por la caracterización de Levy sabemos que $X$ debe ser BM.