¿Qué hace el $k$ ¿Qué significa la estadística de pedidos?

Question

Estoy escribiendo una implementación del $Q_{n}$ propuesto por Rousseeuw y Croux como alternativa a la Desviación Absoluta Mediana.

El estadístico del estimador se define como $$Q_{n} = d \{\left| x_{i} - x_{j} \right| ; i < j \}_{(k)}$$ donde $d$ es un factor constante y $$k = \binom{n/2 + 1}{b}\approx\binom{n}{2}/4 $$ lo que significa que el $k$ estadística de orden $\binom{n}{2}$ interpoint.

No estoy seguro de lo que significa esta anotación. El artículo de wikipedia sobre medidas robustas de escala parece sugerir que se trata simplemente de una forma más precisa de decir el primer cuartil de $\{\left| x_{i} - x_{j} \right| ; i < j \}$ .

¿Es correcto?

De lo contrario, si tengo una lista de números, $X = \{x_i, ... x_{n}\}$ ¿cómo puedo encontrar $$X_{(k)}$$ ?

Answer 1

Que $X_{(k)}$ notación significa literalmente ordenar las observaciones y tomar la que está en posición $k$ (numeración a partir de 1, no de 0 como es habitual en muchos ámbitos de la informática).

Su $Q$ parece, pues, calcularse tomando un montón de distancias entre observaciones, ordenando esas distancias y tomando la k $^{th}$ -la mayor distancia. En $i<j$ impide encontrar distancias de un punto a sí mismo ( $0$ en cualquier espacio métrico) o de encontrar distancias de $a$ a $b$ y de nuevo desde $b$ a $a$ (que son iguales en cualquier espacio métrico).

(Tenga en cuenta que su distancia en valor absoluto entre las observaciones sin duda califica su trabajo como estar en un espacio métrico).