¿Cuáles son los grupos homológicos de un grupo abeliano?

Question

¿Cuáles son los grupos homológicos de un grupo abeliano? Sé que hay respuestas sencillas en ciertos casos (por ejemplo, creo que $H_2(A; \mathbb{Z}) = \wedge^2 A$ ), pero es sorprendentemente difícil encontrar referencias (al menos, que estén en línea y sean gratuitas).

Me interesan sobre todo los coeficientes enteros, pero también me interesaría si hay respuestas sencillas para otros anillos de coeficientes. (Por ejemplo, creo que $H_n(A; \mathbb{Q}) \cong \wedge^n A \otimes \mathbb{Q}$ ?)

Answer 1

Aunque no conozco ninguna descripción completa, hay varios resultados bastante generales en la Sección V.6 del libro Cohomology of groups de K. S. Brown. He aquí un resumen. En lo que sigue, $R$ es un anillo conmutativo con unidad y $G$ es un grupo abeliano.

• Existe un homomorfismo graduado $ \psi \colon \Lambda^*(G \otimes R) \to H_*(G;R)$ que es natural en $G$ .

• El mapa $\psi$ es siempre un isomorfismo en grados $0$ y $1$ . Si $R$ es un dominio ideal principal de característica $0$ (lo que significa que su campo de fracción tiene la característica $0$ ), entonces también es un isomorfismo en grado $2$ .

• Si $R$ es un dominio ideal principal, $\psi$ es inyectiva. Además, si $G$ es finitamente generada es una inyección dividida.

• Si $R$ es un dominio ideal principal y todo primo $p$ tal que $G$ tiene $p$ -es invertible en $R$ entonces $\psi$ es un isomorfismo. En particular, es un isomorfismo si:

a) $ R = \mathbb{Q}$

b) $ R = \mathbb{Z}/p$ y $G$ es $p$ -sin torsión.

c) $ R = \mathbb{Z}$ y $G$ no tiene torsión.

Por último, también se demuestra que si $G$ tiene $p$ -torsión, entonces $$H_*(G;\mathbb{Z}/p) \cong \Lambda^*(G \otimes \mathbb{Z}/p) \otimes \Gamma(\text{Tor}(G,\mathbb{Z}/p))$$ donde $\Gamma(S)$ denota el álgebra polinómica dividida sobre $S$ .