Necesito referencias para: $\lVert\cdot\rVert_{\text{max}} \leq \lVert\cdot\rVert_h$

Question

Sea $A$ y $B$ denotan $C^{\ast}$ -álgebras. Sea $\lVert\cdot\rVert_h$ y $\lVert\cdot\rVert_{\text {max}}$ denotan la norma de Haagerup y max $C^*$ -normas sobre $ A \otimes B$ respectivamente. Estoy buscando una referencia/prueba para el siguiente resultado:

$\lVert\cdot\rVert_{\text{max}} \leq \lVert\cdot\rVert_h$ .

Answer 1

Sea $v \in A \otimes B$ donde $A\otimes B$ es el producto tensorial algebraico.

La norma Haagerup de $v$ es el mínimo de las expresiones $\sqrt{\|\sum_{i=1}^{r} x_{i} x_{i}^{\ast}\|}\cdot \sqrt{\|\sum_{i=1}^{r} y_{i}^{\ast} y_{i} \|}$ , tomada sobre todas las descomposiciones $v=\sum_{i=1}^{r} x_{i} \otimes y_{i}$ ( $r$ puede ser arbitrariamente grande).

Por otra parte, la norma máxima es la suma de la norma $\|\sum_{i=1}^{r} \pi(x_i) \sigma(y_{i})\|_{B(H)}$ sobre todos los pares de representaciones $\pi: A \to B(H)$ , $\sigma: B \to B(H)$ con rangos de desplazamiento. Obsérvese que $\sum_{i=1}^{r} \pi(x_i) \sigma(y_{i})$ puede interpretarse como el producto de la fila $(\pi(x_1),\dots, \pi(x_r))$ y la columna $(\sigma(y_1),\dots, \sigma(y_r))^{T}$ por lo que podemos estimar $\|\sum_{i=1}^{r} \pi(x_i) \sigma(y_{i})\|_{B(H)}$ por

$ \sqrt{\|\sum_{i=1}^{r} \pi(x_{i} x_{i}^{\ast})\|_{B(H)}} \cdot \sqrt{\|\sum_{i=1}^{r} \sigma(y_{i}^{\ast} y_{i})\|_{B(H)}}. $

Como representaciones de $C^{\ast}$ -son contractivas, es evidente que no es mayor que la cantidad que define la norma de Haagerup.

Quizá sea útil señalar que ni siquiera tuvimos que utilizar el hecho de que las representaciones $\pi$ y $\sigma$ tenían rangos de desplazamiento.