Intersección de dos paseos aleatorios simples

Question

Supongamos que $X_n$ y $Y_n$ son paseos aleatorios simples, independientes, simétricos y unidimensionales, donde $X_0 = 0$ y $Y_0 = N$ para algunos $N \in \mathbb{N}$ donde $N$ es par. Me gustaría demostrar que los dos paseos aleatorios se cruzan entre sí, es decir, $P(X_n = Y_n \text{ for some $ n \in \mathbb{N} $}) = 1$ .

Una forma de reformular el problema es considerar una nueva martingala $S_n = Y_n - X_n$ y mostrar su propiedad de recurrencia. En lugar de considerar cada caso ( $S_n$ aumenta en -2, -1, 0, 1, 2 con cada probabilidad correspondiente) y utilizar una técnica similar para demostrar la recurrencia de los paseos aleatorios simples unidimensionales, estoy buscando una demostración que utilice el hecho de que los incrementos de $X_n$ y $Y_n$ tienen la misma distribución así:

$X_n = \sum_{i \leq n} \xi^X_i$ , $Y_n = N + \sum_{i \leq n} \xi^Y_i$ donde cada $\xi^X_i$ y $\xi^Y_i$ representan un único paso. Tenga en cuenta que $S_n = Y_n - X_n = N + \sum_{i \leq n} (\xi^Y_i - \xi^X_i) $ tiene la misma distribución que $S_n = Y_n - X_n = N+ \sum_{i \leq n} (\xi^Y_i + \xi^X_i) $ como $X_n$ es un paseo aleatorio simétrico. Se trata exactamente de un paseo aleatorio simple cuyo punto inicial es $N$ y se indexa por cada número par, que es recurrente por la recurrencia de un simple paseo aleatorio.

Answer 1

Suponiendo que ambos $X_n$ y $Y_n$ tomar medidas en cada $n$ entonces la distribución incremental de $S_n$ es aún más sencillo de lo que describes; subirá o bajará 2 con probabilidad 1/4 y se quedará donde está con probabilidad 1/2. Por lo tanto, si se ignoran los escalones en los que permanece, el paseo aleatorio resultante es un auténtico paseo aleatorio simple sobre $2 \mathbb{Z}$ que es recurrente.

Para formalizarlo: defina la secuencia de tiempos $\{t_n\} \subset \mathbb{N}$ donde $S_n$ se mueve; es decir, $t_0 = 0$ y $t_n = \inf\{n > t_{n-1} \colon S_n \neq S_{n-1}\}$ para $n > 0$ . El proceso $M_n := \frac 1 2 S_{t_n}$ puede demostrarse que es un paseo aleatorio simple genuino sobre $\mathbb{Z}$ .