$L^p$ integral en cada subconjunto medible de $\Bbb R$

Question

Supongamos que $f:\Bbb R \to \Bbb R$ está en $L^p$ para algunos $p>1$ y también en $L^1$ . Demostrar que existen constantes $c>0$ un $\alpha \in (0,1)$ tal que

$\int_A|f(x)|dx\le cm(A)^{\alpha}$ para todo conjunto medible de Borel $A\subset \Bbb R$ donde $m$ Medida de Lebesgue.

En realidad, no tenía ninguna idea concreta de cómo empezar. Probé Holders, dividiendo $f(x)$ en dos partes con potencias conjugadas. Me llevó a ninguna parte .. ¿Puedes darme una idea para que pueda empezar

Answer 1

Pista: La desigualdad de Holder con $f$ y $g(x)=1$ .