Topológico "Interpolación" ?

Question

Deja E ser una normativa espacio, y dejan $T$:E ^* $\rightarrow$ E ^*ser un operador no lineal.

Supongamos que :

1) $T$ es continuo a partir de (E ^*, ||.||) a sí mismo (es decir, es la norma-continuo).

y

2) $T$ es continuo a partir de (E ^*, w ^*) a sí mismo (es decir, es débilmente estrellas continua).

Luego de lo anterior se sigue que

3) $T$ es continuo a partir de (E ^*, w) a sí mismo (es decir, es débilmente continua) ?

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Supongo que el caso E = ℓ∞ sería particularmente interesante.

Answer 1

Creo Ady pregunta tiene una respuesta negativa.

Recordemos que el Mazur mapa, $T$, de la unidad de la bola de $\ell_2$ sobre la unidad de la bola de $\ell_1$, se define por $T(\sum a_i e_i)= \sum a_i^2 b_i e_i$ donde $b_i$ es el signo de $a_i$. Es un uniforme homeomorphism en la norma topologías y obviamente es coordinatewise continua, lo que significa que es débil ($=$ débiles$*$$\ell_2$) a la debilidad de las$^*$ continuo (ya que en la unidad de la bola de $\ell_p$ $p$ finito el débil* topología la topología de coordinatewise convergencia). $T$ no es débil a débil continua desde el vector unitario base converge débilmente a cero en $\ell_2$, pero no en $\ell_1$.

El problema es extender $T$ a todos los de $\ell_2$. Creo que la manera más fácil de hacer esto es para mostrar que hay una retracción $R$ $\ell_2$ en su unidad de pelota que es norma de normas continua y débil a débil continua. Definir $R$ en el complemento de la unidad de pelota

$$ R(\sum a_i e_i) = \sum_{i=1}^n a_i e_i + t e_{n+1}, $$ donde $\sum_{i=1}^n a_i^2 \le 1 < \sum_{i=1}^{n+1} a_i^2$ $t$ es el elegido para tener el mismo signo de $a_{n+1}$, y para hacer que la imagen del vector han norma. $R$ es obviamente continua (incluso de Lipschitz) en la norma de la topología y es continua en la topología de coordinatewise convergencia, por lo tanto es muy débil, débil continua (ya que en todos los de $\ell_2$, la topología débil es más fuerte que la topología de coordinatewise convergencia).

Para obtener un contraejemplo a la que se asigna un espacio dual a sí mismo, el trabajo con el espacio $\ell_2 \oplus \ell_1$.