Demostración del teorema del valor medio

Question

Teorema

Teorema del valor medio : Sea una función $f$ que es continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$ . Entonces existe $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Me gustaría demostrar el Teorema del Valor Medio, suponiendo que ya se ha demostrado el Teorema de Rolle.

Prueba

Sea $f$ sea la función cuya gráfica es la cuerda entre los puntos extremos $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$ .

Entonces $g(x)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)$ y que $h(x)=f(x)-g(x)$ Así que $h$ es continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$ . Tenga en cuenta que $h(a)=h(b)=0$ por lo que se cumplen las hipótesis del Teorema de Rolle y, por tanto, existe un $c\in(a,b)\ni h'(c)=0$ .

$$0=h'(c)=f'(c)-g'(c)=f'(c)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ $$\implies f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\tag*{$ \blacksquare $}$$

¿Es válida la prueba anterior (y hay alguna sugerencia para mejorarla?)

Answer 1

Otra forma de demostrar el MVT:

Definamos una función $\phi$ :[a,b] $\rightarrow IR$ por $$\begin{matrix} f(x)&g(x)&h(x) \\ f(a)&g(a)&h(a)\\ f(b)&g(b)&h(b) \end{matrix}$$ Observe que $\phi (a)$ = $\phi (b)$ =0. Por lo tanto, por el teorema de Rolle $\exists$ c $\in$ (a,b) tal que $\phi^{'} (c)$ =0. $$\begin{matrix} f^{'}(x)&g^{'}(x)&h^{'}(x) \\ f(a)&g(a)&h(a)\\ f(b)&g(b)&h(b) \end{matrix}$$ es igual a 0. Tomemos h(x) como una función constante,g(x)=x y expandamos el determinante para obtener el resultado deseado.