Sé que esto puede sonar trivial, pero estoy teniendo problemas para averiguar cuál es el problema. Deje que $\mathbb{L}$ sea la clase de conjuntos construibles. Sabemos que $(\mathbb{L}_{\omega + \omega}, \in)$ es una estructura contable y que $\omega \in \mathbb{L}_{\omega + \omega}$ . Así podemos construir cosas complejas que impliquen $\omega$ y por lo tanto codificar muchas cosas dentro $(\mathbb{L}_{\omega + \omega}, \in)$ . Puesto que cada elemento de $\mathbb{L}_{\omega + \omega}$ puede obtenerse a partir de unos $\phi$ y algún número finito de parámetros, ¿por qué no podemos describir toda la construcción de $\mathbb{L}_{\omega + \omega}$ en $\mathbb{L}_{\omega + \omega}$ (a un nivel finito $\mathbb{L}_{\omega+n}$ ) que da lugar a la definición de una fórmula $\mathrm{Sat}$ que define la satisfacción en $\mathbb{L}_{\omega + \omega}$ ? Parámetro $u$ de los niveles superiores pueden reducirse al nivel $\mathbb{L}_{\omega}$ ya que $u = \{ x \in \mathbb{L}_{\omega+n} : \phi(x,\bar{v})\}$ donde $\mathbb{L}_{\omega + n}$ y cada $\bar{u}$ pueden sustituirse por sus fórmulas definitorias y un número finito de parámetros de niveles inferiores (finitamente muchos niveles hacia abajo). $\mathbb{L}_{\omega}$ también puede definirse utilizando dicha fórmula, por lo que todo en $\mathbb{L}_{\omega + \omega}$ puede definirse utilizando parámetros de $\mathbb{L}_{\omega}$ . Pero la misma pregunta es válida para cualquier estructura.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Ni siquiera puedes construir $M$ en $L_{\omega+\omega}$ equivalente elemental a $L_{\omega+\omega}$ debido a Teorema de indefinibilidad de Tarski :
Tenemos que el conjunto de conjuntos hereditalmente finitos, $\mathsf {HF}$ es un subconjunto de $L_{\omega+\omega}$ . Sea $T$ sea el conjunto de todas las sentencias que $L_{\omega+\omega}$ satisface. Supongamos ahora que existe algún $M\in L_{\omega+\omega}$ tal que $(M,\in)$ y $(L_{\omega+\omega},\in)$ son equivalentes elementales, entonces como $\mathsf{HF}\subseteq L_{\omega+\omega}$ podemos definir en $L_{\omega+\omega}$ si para cualquier fórmula $\varphi(\bar x)$ y cualquier $\bar a\in M$ , $M\models\varphi(\bar a)$ por lo tanto $M\in L_{\omega+n}$ para algunos $n<\omega$ tenemos que $T\in L_{\omega+n+1}$ contradiciendo el teorema de indefinibilidad de Tarski.
