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Teorema ergódico Un paseo aleatorio sobre un grupo finito $G$ impulsado por una probabilidad $\nu\in M_p(G)$ es ergódico si $\operatorname{supp}(\nu)$ i en un subgrupo propio $S\subset G$ ni el coset de un no $N\triangleleft G$ .
En este caso, las potencias de convolución de $\nu$ convergen a la distribución uniforme $\pi$ en $G$ :
$$\nu^{\star k}\rightarrow \pi.$$
Dónde $\|\cdot \|=\frac12\|\cdot\|_{\ell_1}$ , $$(\nu\star \nu)(g)=\sum_{t\in G}\nu(gt^{-1})\nu(t),$$ $d_\alpha$ es la dimensión de una representación $\rho_\alpha:G\rightarrow \operatorname{GL}(V)$ , $$\hat{\nu}(\rho)=\sum_{t\in G}\nu(t)\rho(t),$$ y $T^*$ denota la transposición conjugada de $T$ en $\operatorname{GL}(V)$ Diaconis y Shahshahani demostraron lo siguiente:
Lema del límite superior Dónde $\operatorname{Irr}(G)\backslash \tau$ es el conjunto de representaciones irreducibles unitarias no triviales en $G$ : $$\|\nu^{\star k}-\pi\|^2\leq \frac{1}{4}\sum_{\rho_\alpha\in \operatorname{Irr}(G)\backslash \tau}d_\alpha \operatorname{Tr}[\widehat{\nu}(\rho_\alpha)^k(\widehat{\nu}(\rho_\alpha)^*)^k].$$
El Lema del Límite Superior sigue siendo válido si el paseo aleatorio conducido por $\nu$ no es ergódica.
Obsérvese que la suma sobre las representaciones irreducibles no triviales es igual (hasta una constante) a $\|\nu^{\star k}-\pi\|_{\ell_2}^2$ y así poder detectar la convergencia.
Pregunta: ¿Puede utilizarse el lema del límite superior para demostrar el teorema ergódico?
¿Puede el Lema del Límite Superior demostrar que para $\nu^{\star k}$ para converger a $\pi$ es necesario que $\nu$ no se admite en un subgrupo (irreductibilidad)? Sospecho que la aperiodicidad (no concentrada en el coset del subgrupo normal) podría ser más difícil.
La mía Tesis de máster puede ser una buena referencia.
Antecedentes: Es posible demostrar un lema de límite superior para finitos cuántico sin embargo, encontrar las condiciones necesarias y suficientes para la convergencia a uniforme (convergencia al estado Haar) es un problema abierto. Si el Upper Bound Lemma puede dar lugar a las condiciones necesarias y suficientes para la convergencia en el caso clásico, tal vez algo similar podría ser posible en el caso cuántico.
