Sea $R=\mathbb{Z}_5[x]/I$ sea un anillo cociente, con $I=(x^2-1)$ es un ideal construido por el polinomio $x^2-1$ en $\mathbb{Z}_5[x]$ . ¿Cuántos homomorfismos de anillo hay que sean biyectivos de $R$ a $R$ ?.
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$\newcommand{\z}{\mathbb Z}$ Sea $[\cdot]$ denotan la clase de equivalencia de un elemento en $\frac{\z_5[x]}{\langle x^2 - 1\rangle}$ .
Obsérvese que todo homomorfismo de anillo debe enviar a $[0] \to [0]$ y $[1] \to [1]$ así que la única pregunta es, ¿dónde $[x]$ ¿Ir?
Por lo que sabemos, $f([x]) = a[x]+b$ para algunos $a,b \in \z_5$ ya que los residuos de un módulo cuadrático pueden ser como máximo lineales.
Tenga en cuenta que si $[x] \to [ax+b]$ entonces $[x^2-1] \to [(ax+b)^2 -1] = [0]$ . Pero $(ax+b)^2- 1$ es múltiplo de $x^2 - 1$ si y sólo si al evaluarse en $\pm 1$ da cero. Sustituyendo esto se obtiene $(a+b)^2 = 1$ y $(a-b)^2 = 1$ . Comprobación de casos para $a,b$ da que $(a,b)$ tiene cuatro posibilidades : $(1,0),(-1,0) , (0,1),(0,-1)$ .
Estos se traducen en : $[x] \to [x], [x]\to [-x] , x \to [1] , x \to [-1]$ . Los dos últimos mapas no son suryectivos, por lo que no cuentan. Los dos primeros mapas son biyectivos, obviamente. Por tanto, sólo hay dos isomorfismos de anillo.
Chris Custer
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user1952009
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81
Un automorfismo de $R[x]/(f(x))$ debe enviar $1_R$ a $1_R$ Aquí $1_R$ genera $R = \Bbb{Z/5Z}$ por lo tanto un automofismo es la identidad en $R$ entonces debe enviar $x$ a una raíz de $f$ en $R[x]/(f(x))$ aquí las raíces son $1,-1,x,-x$ y los homomorfismos $x\to 1,x\to -1$ no son suryectivos, lo que significa que hay 2 automorfismos $x\to x,x\to -x$ .
También $R[x]/(f(x)) = R[x]/((x+1)(x-1))\cong R[x]/(x+1) \times R[x]/(x-1)\cong R\times R$ siempre que $(x+1),(x-1)$ son comaximales, es decir, siempre que $2\in R^\times$ . En $R\times R$ el automorfismo no trivial se convierte en $(a,b)\mapsto (b,a)$ .
El homomorfismo $(a,b)\mapsto (a,0)$ corresponde a $1_R\to x, x\to x$
Geoffrey Trang
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Para dar un homomorfismo de anillo unital de $R$ a cualquier anillo $S$ de la característica 5 (incluido $R$ es equivalente a dar un elemento de $S$ que se eleva al cuadrado de la identidad multiplicativa (un elemento de este tipo se denomina a veces un involución ). Si $[a+bx] \in R$ entonces $[a+bx]^2=[a^2+2abx+b^2x^2]=[a^2+b^2+2abx]$ . Por lo tanto, para tener $[a+bx]^2=1$ debemos tener $a^2+b^2 \equiv 1 \pmod 5$ y $2ab \equiv 0 \pmod 5$ . Desde $2 \not\equiv 0 \pmod 5$ y $5$ es un número primo, o bien $a=0$ o $b=0$ . Sin embargo, $a$ y $b$ no pueden ser ambos cero, y de hecho, uno de ellos debe ser cero y el otro debe ser $\pm 1$ . Esto da cuatro homomorfismos de anillo unital de $R$ a sí mismo, es decir, el mapa de identidad, el mapa de "conjugación" $[c+dx] \mapsto [c-dx]$ el mapa $[c+dx] \mapsto [c+d]$ y el mapa $c+dx \mapsto [c-d]$ . De esos cuatro endomorfismos, sólo los dos primeros son automorfismos.
Los endomorfismos no unitales, por supuesto, nunca pueden ser automorfismos. En el anillo $R$ los idempotentes no triviales son $[3+2x]$ y $[3+3x]$ . Sus anillos angulares están formados respectivamente por los elementos $[a-ax]$ y los elementos $[a+ax]$ y, por supuesto, ambos anillos angulares son isomorfos a $\mathbb{Z}_5$ . Además, las únicas involuciones en $\mathbb{Z}_5$ son $\pm 1$ .
Por tanto, además del endomorfismo cero, existen otros cuatro endomorfismos no unitales del anillo $R$ a saber, los mapas $[c+dx] \mapsto [(3c+3d)+(2c+2d)x]$ , $[c+dx] \mapsto [(3c+2d)+(2c+3d)x]$ , $[c+dx] \mapsto [(3c+3d)+(3c+3d)x]$ y $[c+dx] \mapsto [(3c+2d)+(3c+2d)x]$ . Ninguno de estos endomorfismos son automorfismos.
