La respuesta de Alfred es correcta, aunque tediosa. Las otras respuestas cuentan más de la cuenta, así que aquí espero mostrar al menos una solución alternativa que es algo menos tediosa (pero sigue siendo frustrante). Pensemos de momento que cada bola tiene una etiqueta única.
Mediante inclusión-exclusión:
Todos los colores presentes = total irregular - al menos un color no presente + al menos dos colores no presentes
( nota, "al menos 3 o más colores no presentes" es imposible )
Utilizando símbolos y taquigrafía, digamos $N_{b}$ representa el evento "no blues" y deja que $N_{b,w}$ representar el evento "ni azules ni blancos", etc... y $A$ representan el evento "todos los colores presentes" y $T$ representan el evento seguro, se obtiene:
$$A = T - N_b - N_w - N_r + N_{b,w} + N_{b,r} + N_{w,r}$$
El número total de formas de extraer 6 bolas es entonces $\binom{17}{6}$
$N_b$ es el número de maneras de sacar 6 bolas de cualquier forma mientras no haya azules (aunque sean todas blancas o todas rojas o una mezcla de blancas y rojas) para un total de $\binom{17-8}{6}$
$N_w$ es el número de maneras de sacar 6 bolas de cualquier forma mientras no haya blancas (aunque sean todas azules o rojas o una mezcla de azul y rojo) para un total de $\binom{17-5}{6}$
Del mismo modo, se obtiene $N_r = \binom{17-4}{6}$
A continuación se calcula $N_{b,w}$ es el número de formas de seleccionar seis bolas siempre que ninguna de ellas sea azul o blanca, es decir, sólo bolas rojas. Esto habría sido $\binom{17-8-5}{6}$ Sin embargo, observe que $17-8-5=9-5=4$ y $\binom{4}{6}=0$
Del mismo modo $N_{b,r} = \binom{17-8-4}{6}=0$
$N_{w,r} = \binom{17-5-4}{6}=\binom{8}{6}$
Por lo tanto, nuestro número total de casos es:
$$\binom{17}{6}-\binom{17-8}{6}-\binom{17-5}{6}-\binom{17-4}{6}+\binom{17-5-4}{6}$$
$$=\binom{17}{6}-\binom{9}{6}-\binom{12}{6}-\binom{13}{6}+\binom{8}{6}$$
Dividiendo por el número total de casos, $T=\binom{17}{6}$ da la probabilidad, $\frac{1210}{1547}\approx 0.78$ wolfram
