Encontrar dónde $f$ es continua

Question

Tenemos una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definido como

$$\begin{cases} x; \ \ x \notin \mathbb{Q} \\ \frac{m}{2n+1}; \ \ x=\frac{m}{n}, m\in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \ \ \ \text{$m$ and $n$ are coprimes} \end{cases}.$$

Encontrar dónde $f$ es continua

Answer 1

Sugerencia: Puesto que $f(x) \simeq x/2$ en los racionales con denominador suficientemente grande y $f(x) = x$ a los irracionales, ¿hay alguna manera de que $f$ sea continua en cualquier lugar que no sea cero? Tanto los racionales como los irracionales son densos, es decir, estrictamente entre dos racionales o irracionales distintos se puede encontrar tanto un racional como un irracional.

Answer 2

Si $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ entonces $f(x) = x$ . Si $x = \frac{m}{n} \in \mathbb{Q}$ donde $m, n$ son como deberían ser, entonces $f(x) = \frac{m}{2 n + 1} < \frac{m}{2n} = \frac{1}{2} \left( \frac{m}{n} \right) = \frac{x}{2}$ . Entonces, ¿qué es importante para determinar la continuidad en $x_{0}$ es que obtenemos el mismo límite tanto si nos aproximamos por racionales como por irracionales. Pero si $x_{0} \geq 0$ entonces \begin{align*} 0 &\leq \limsup_{x \to x_{0}}^{(\mathbb{Q})} & \leq \frac{x_{0}}{2} , \\ 0 &\leq \limsup_{x \to x_{0}}^{( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q})} & = x_{0}, \end{align*} por lo que necesitaríamos que $x_{0} = x_{0} / 2$ Así que $x_{0} = 0$ . Del mismo modo, si $x_{0} \leq 0$ entonces \begin{align*} 0 &\geq \liminf_{x \to x_{0}}^{(\mathbb{Q})} & \geq \frac{x_{0}}{2} , \\ 0 &\geq \liminf_{x \to x_{0}}^{( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q})} & = x_{0}, \end{align*} así que de nuevo necesitamos $x_{0} = x_{0} / 2$ es decir $x_{0} = 0$ .