En primer lugar, no sé exactamente a qué te refieres con función no integral. John Dodson habló de dos interpretaciones que suelen aparecer en física: funciones no elementales y singularidades. La única otra posibilidad que se me ocurre son integrales como $$ \int_{-1}^{1}\mathrm{sin}(\frac{1}{x})dx $$ Esta oscila infinitas veces cerca del origen, de tal forma que es básicamente indefinida en x = 0. Que yo sepa, estas "funciones patológicas" no aparecen en física.
Dicho esto, intentaré dar una respuesta más satisfactoria repasando un ejemplo del electromagnetismo: la función de Green. Para que sepas por dónde va esto, te daré una visión general: la función de Green es importante para resolver las ecuaciones de Maxwell para distribuciones de carga arbitrarias, pero intentar evaluarla ingenuamente lleva a una integración similar a $\int \frac{dx}{x}$ - pero para que las ecuaciones tengan sentido, necesitamos que esta integral sea finito . Para ello tendremos que integrar a través del plano complejo, un proceso extraño que arroja resultados físicamente interpretables. Las matemáticas de este ejemplo serán un poco sofisticadas, pero sólo se requiere una vaga comprensión de los conceptos para ver lo que está pasando.
Ecuaciones de Maxwell simplificadas
Las ecuaciones de Maxwell hablan de las interacciones del campo eléctrico y magnético mediante ecuaciones diferenciales. Resulta que podemos representar los campos eléctrico y magnético introduciendo un único vector potencial $A$ con cuatro componentes: un componente "tiempo $\phi/c$ y tres componentes espaciales representadas por el vector $\bf{\vec{A}}$ . Entonces los campos eléctrico y magnético vienen dados por $$ \bf{\vec{E}}=\bf{\vec{\nabla}}\phi,\quad \bf{\vec{B}}=\bf{\vec{\nabla}}\times\bf{\vec{A}} $$ y las ecuaciones de Maxwell son $$ \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi(\bf{x},t)}{\partial t^2} - \nabla^2\phi(\bf{x},t) = \frac{\rho}{\epsilon_0} \\ \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\bf{\vec{A}}(\bf{x},t)}{\partial t^2} - \nabla^2\bf{\vec{A}} (\bf{x},t) = \mu_0\bf{\vec{J}} $$ (Puede ir a aquí para aprender más sobre las ecuaciones de Maxwell, y aquí para saber más sobre el operador $\bf{\vec{\nabla}}$ ).
Función de Green
Centrémonos en la primera de las ecuaciones de Maxwell, la de $\phi$ . Una forma de encontrar soluciones para cualquier $\rho$ (es decir, la densidad de carga) es partir de las soluciones para $\rho=0$ - es decir, soluciones a: $$ \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} = \nabla^2\phi $$ Si estás cursando Cálculo, esta ecuación puede parecer desalentadora; sin embargo, la solución resulta ser trivial: véase ecuación de onda en Wikipedia. Si podemos relacionar las soluciones de las ecuaciones de Maxwell para cualquier $\rho$ a estas soluciones conocidas para $\rho=0$ ¡entonces estamos bien! La forma de hacerlo es utilizar una función de Green para la ecuación de onda: una función tal que $$ \phi_\rho(\bf{x},t) = \phi_0(\bf{x},t) + \int G(\bf{x-x'},t-t')\rho(\bf{x'},t')d^4 x $$ donde $\phi_\rho$ es una solución de la ecuación de Maxwell, y $\phi_0$ es una solución a la $\rho=0$ caso. La integral se toma sobre las cuatro dimensiones del espaciotiempo (de ahí el símbolo $d^4x$ ). Existe una ecuación diferencial especial que nos dará la función de Green, y su solución se puede representar como:
$$ G(\textbf{x},t) = \int \frac{e^{i(\omega t - \textbf{k}\cdot\textbf{x})}d^4k}{\omega^2 - \textbf{k}^2} $$
Esta integral se realiza sobre cuatro variables: la variable "frecuencia" $\omega$ y el vector "número de onda $\textbf{k}$ . Corresponden a las distintas soluciones ondulatorias de la $\rho=0$ ecuación.
Función no integrable
¿Qué tiene que ver esto con tu pregunta? Digamos que intentamos integrar sobre la variable $\omega$ . Esto parece $$ \int\left(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i(\omega t - \textbf{k}\cdot\textbf{x})}}{\omega^2 - \textbf{k}^2}d\omega\right) d^3\textbf{k} $$
Si descomponemos en fracción parcial, tenemos $$ \int\frac{e^{i(\textbf{k}\cdot\textbf{x})}}{2|\textbf{k}|}\left(\left(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i\omega t}}{\omega - |\textbf{k}|}d\omega\right) - \left(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i\omega t}}{\omega + |\textbf{k}|}d\omega\right)\right) d^3\textbf{k} $$ Ambas integrales internas son obviamente problemáticas: integrar directamente desde $-\infty$ a $\infty$ nos encontramos con dos singularidades cuando $\omega = |\textbf{k}|$ o $\omega = -|\textbf{k}|$ ¡!
Cuando nos encontramos con integrales como éstas, tenemos que hacer algunos trucos para obtener información significativa de ellas. El truco que utilizamos aquí no es integrar directamente de un extremo a otro, sino tomar un camino curvilíneo a través del plano complejo que evite las singularidades no integrables. Los posibles caminos incluyen, pero no se limitan a:
!["Advanced" solution]()
"Solución "avanzada !["Retarded" solution]()
"Solución "retardada
La solución retardada se llama así porque tiene en cuenta las ondas que viajan hacia delante en el tiempo (lo que significa que la carga $\rho$ sólo puede afectar al futuro) y la solución avanzada tiene en cuenta las ondas que viajan hacia atrás en el tiempo (lo que significa que la carga $\rho$ puede afectar al pasado). Como aún no hemos visto ninguna capacidad de enviar mensajes al pasado, solemos interpretar que las soluciones retardadas son las únicas "permitidas"; las soluciones avanzadas están "prohibidas" (aunque Teoría del absorbedor de Feynman-Wheeler ofrece otra interpretación).
En solución retardada es: $$ G_R(\textbf{x},t) = \Theta(t)\frac{\delta(t-\frac{r}{c})}{4\pi r} $$ La función escalón $\Theta(t)$ es cero para $t$ mientras que la función delta de Dirac $\delta(x)$ es cero siempre que $x$ es distinto de cero. $r$ representa el radio del punto $\textbf{x}$ . Así, esta ecuación corresponde a ondas que viajan hacia delante en el tiempo con velocidad $c$ .
Recapitulemos
Resumiendo: hay ciertos momentos en los que las funciones no integrables entran en los cálculos físicos, y el intento de interpretar estas integrales y encontrar soluciones útiles puede llevarnos a una comprensión más amplia de la situación física.
Otra forma significativa de que esto ocurra es en la teoría cuántica de campos. El cálculo de campos cuánticos que interactúan puede dar lugar a integrales muy divergentes, ninguna de las cuales es tan fácil de evitar como la que hemos visto. Una clase de técnicas conocidas como " Renormalización " se crearon para tratar estos infinitos, centrándose en la idea de que las teorías de campo no son válidas a escalas pequeñas, apuntándonos hacia una teoría de alta energía más precisa que elimine los infinitos. Aunque controvertida en un principio, la concepción moderna de estas teorías está bien fundamentada y tiene usos que van más allá de evitar los infinitos. (¡Gracias, Michael Brown!)
Por lo tanto, se podría argumentar que las funciones no integrables no sólo se dan en nuestra comprensión de la naturaleza pero aumentan nuestra comprensión del mismo al conducirnos a nuevos métodos de interpretación. .
Espero haberle proporcionado un ejemplo y una respuesta satisfactorios a su pregunta.
EDIT: Al principio llamé "controvertidas" a las técnicas de renormalización, pero, como ha señalado Michael Brown, se trata de una caracterización un tanto errónea. Cuando se introdujeron por primera vez, muchos físicos prominentes expresaron su malestar con estas técnicas, pero una mejor comprensión de la ciencia detrás de la renormalización ha llevado a una teoría bien fundada y hoy en día la mayoría de las teorías cuánticas de campo son juzgadas por su capacidad de ser renormalizadas.
"Solución "avanzada 
"Solución "retardada
