Sólo tengo una respuesta cuando $M'$ es la multicategoría terminal. Sin embargo, esto también puede ser útil para la solución general. Véanse las consideraciones siguientes.
La extensión Kan izquierda cuando $M'$ es la multicategoría terminal $1$ (esto tiene un objeto, y un multimorfismo para cada $n$ ) puede construirse del siguiente modo.
Un functor $1 \to \mathbf{Sets}$ es sólo un monoide $A$ en $\mathbf{Sets}$ . La 2-célula que lo exhibirá como la extensión izquierda de $P : M \to \mathbf{Sets}$ a lo largo de la única $M \to 1$ consiste en mapas $$d_X : P(X) \to A,$$ para cada objeto $X$ de $M$ tal que para cualquier multimorfismo $f\colon (X_1,...X_n) \to X$ $$P(X_1)\times...\times P(X_n) \xrightarrow{P(f)} P(X) \xrightarrow{d_x} A$$ $$=$$ $$P(X_1)\times...\times P(X_n) \xrightarrow{d_{x_1}\times...\times d_{x_n}} A\times... \times A \xrightarrow{\text{mult.}} A.$$
Dado $P$ se construye $A$ como sigue. Tomemos un coproducto $\amalg_X P(X)$ . Tome el monoide libre en este $\mathcal{Fr}(\amalg_X P(X))$ y factorizarlo mediante las relaciones $$P(f)(x_1, x_2,\ldots, x_n)\sim x_1x_2...x_n.$$
En $d_X$ se definirán como los mapas canónicos.
Para el caso general, se podría seguir a Kelly, que define extensiones Kan puntuales dentro de una bicategoría general con objetos coma. (Insertaré una referencia para esto.) Usando esto para la bicategoría de categorías, la fórmula usual para $Lan_F(P)(X)$ se obtiene hallando la extensión Kan izquierda del compuesto $$P\downarrow X \to M \to Sets$$
a lo largo del functor $P\downarrow X \to 1$ a la categoría de terminal. Esto resulta ser justo el colímite. Así que para las categorías, encontrar fórmulas puntuales se reduce a encontrar la extensión de Kan a lo largo de los functores hasta la categoría terminal. Sin embargo, esto se basa en el hecho de que un objeto $X$ de una categoría puede venir dada por un functor $1 \to M'$ .
Creo que la categoría 2 de multicategorías tiene objetos coma. Por desgracia, los multifunctores $1 \to M'$ son monoides en $M'$ en lugar de objetos.
