¿La continuidad de Cauchy implica continuidad uniforme? [No.]

Question

Es bien conocido que si $X$ es un espacio topológico de primer conteo y $Y$ es un espacio topológico, entonces $f : X \rightarrow Y$ es continua si y solo si $$\forall x \in {\rm map}(\mathbb{N},X),\forall p \in X \quad x_{n} \rightarrow p \Rightarrow f(x_{n}) \rightarrow f(p)$$

También es bien conocido que si $X$ y $Y$ son espacios métricos y $f : X \rightarrow Y$ es uniformemente continua, entonces $f$ mapea sucesiones de Cauchy a sucesiones de Cauchy.

Por analogía parece plausible que si una función entre espacios métricos mapea sucesiones de Cauchy a sucesiones de Cauchy entonces debe ser uniformemente continua. Sin embargo, imitar la demostración del resultado análogo para aplicaciones continuas no funciona, lo que me hace pensar que el resultado es falso. ¿Alguien conoce algún contraejemplo?

También en la página de wikipedia sobre la continuidad uniforme, dice que el resultado es cierto si $X$ e $Y$ son subconjuntos de $\mathbb{R}^{n}$. EDIT: En realidad no dice esto, malinterpreté la página.

Answer 1

No es verdad.

f(x) = x^2 en toda la recta real.

Mapea las sucesiones de Cauchy a sucesiones de Cauchy pero no es uniformemente continua en toda la recta real.

Answer 2

Tome por $X$ la unión disjunta de una secuencia $A_n$ de conjuntos de dos puntos. Fije $d(p, q) = 1 / n$ si $p$ y $q$ son puntos diferentes en $A_n$ y $d(p, q) = 1$ si $p \in A_n$ y $q \in A_m$ con $m \not= n$. Cada sucesión de Cauchy en $X$ es eventualmente constante. Considere la aplicación identidad de $X$ con esta métrica a $X$ con la métrica discreta.

Answer 3

Varias personas ya han dado ejemplos que muestran que la preservación de la Cauchyness no es suficiente para probar que un mapa es uniformemente continuo. Sin embargo, todavía es posible caracterizar la continuidad uniforme en términos de sucesiones (solo para espacios métricos, para espacios uniformes se necesitarían redes (o filtros)). En caso de que estés interesado, aquí tienes el resultado.

Teorema: Sea $f:X\to Y$ una aplicación entre espacios métricos (ambas métricas denotadas por $d$). Entonces, $f$ es uniformemente continuo si, para cada par de sucesiones $(x_n)$ y $(z_n)$ en $X$ tales que $d(x_n, z_n)$ converge a $0$, entonces $d(f(x_n), f(z_n))$ converge a cero.

Prueba: ejercicio dejado al lector.

Answer 4

Bueno, aquí hay [probablemente otra] página de Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy-continuous_function. Espero que esto ayude.

Alternativamente, puedes usar la función $f:\mathbb{R\rightarrow\mathbb{R}}$, expresada por $f\left(x\right)=x^{2}$ para demostrar que es posible que una función continua envíe sucesiones de Cauchy a sucesiones de Cauchy sin ser uniformemente continua.

En cuanto a la cuestión de la continuidad: la función debe ser continua. Por favor, sumerge $Y$ en su completación, digamos $Y^{\sim}$, deja $p\in X$ y deja que $\left(x_{n}\right)$ sea una sucesión en $X$ convergiendo a $p$. ¿La sucesión $\left(x_{1}, p, x_{2}, p,...\right)$ no es Cauchy en $X? Entonces, su imagen por $f$ debería ser una sucesión Cauchy en $Y$, y por lo tanto, convergente en $Y^{\sim}$. Sin embargo, esa imagen contiene una subsecuencia constante... ¿no es así?