Estoy teniendo problemas para encontrar referencias para ejemplos en profundidad de gavillas perversas, por lo que las respuestas en forma de tal referencia serían de gran ayuda.
Quiero construir un ejemplo de complejo de intersección no concentrado en un único grado (natural) de cohomología. Leyendo BBD, parece que la definición de extensión intermedia debe hacerse en la categoría derivada, incluso para discutir la extensión intermedia de gavillas constantes. Así que creo que puedo encontrar un ejemplo de inclusión abierta $j: U_0 \hookrightarrow X_0$ tal que $j_{!*} \bar{\mathbb{Q}}_{\ell} [d]$ no se concentra en grado $d$ . Estoy buscando un ejemplo más sencillo, pero tengo problemas para verificar mi trabajo hasta ahora. Así que también agradecería si alguien puede señalar cualquier error evidente en mi razonamiento (y la falta de ella).
Los primeros intentos que hice todos parecen haber $R^1 j_! \bar{\mathbb{Q}}_{\ell} = 0$ y así $Rj_! \bar{\mathbb{Q}}_{\ell} [d] = {}^p j_!\bar{\mathbb{Q}}_{\ell}[d]$ así que ${}^pj_! \bar{\mathbb{Q}}_{\ell} [d] \hookrightarrow {}^p j_* \bar{\mathbb{Q}}_{\ell} [d]$ Por lo tanto $j_{!*} (\bar{\mathbb{Q}}_{\ell} [d]) = j_!(\bar{\mathbb{Q}}_{\ell}) [d]$ .
En particular, parece que lo anterior se cumple siempre que $X_0$ es suave y $j: U_0 \hookrightarrow X_0$ es la inclusión de abierto denso. Así que esta no es la dirección correcta.
Si nos fijamos ahora en las variedades singulares, los dos primeros ejemplos que me vienen a la mente son $C_0 = \mathrm{Proj} (\mathbb{F}_q[S,T,U]/(T^2U-S^3))$ (curva cúbica proyectiva con una cúspide) y $C'_0 = \mathrm{Proj} (\mathbb{F}_q[S,T,U]/(T^2U - S^3 - S^2U))$ (curva cúbica proyectiva con un nodo). Obsérvense los loci no singulares $C_{ns, 0} \cong \mathbb{A}^1_0$ y $C'_{ns, 0} \cong \mathbb{G}_{m, 0}$ . (Supongamos $\mathrm{char}(\mathbb{F}_q) > 2$ para $C'_0$ .)
Pero en el caso de $C_0$ tomando $j: C_{ns,0} \hookrightarrow C_0$ para ser la inclusión del lugar no singular, me parece que $Rj_!$ es exacta. En particular, el tallo en un punto geométrico ${\bar{x}}$ situado sobre el nodo $x \in C_0$ $$ (R^1 j_! \bar{\mathbb{Q}}_{\ell})_{\bar{x}} = \lim_{\to} H^1 (U, j_! \bar{\mathbb{Q}}_{\ell}) \overset{(a)}{=} \lim_{\to} H^1_c (U \times_{C_{0}} C_{ns, 0}, \bar{\mathbb{Q}}_{\ell}) \overset{(b)}{\cong} H^1_c (\mathbb{A}^1, \bar{\mathbb{Q}}_{\ell}), $$ donde el límite se toma sobre étale $U \to C_0$ en $\bar{x}$ . Entonces tenemos $H^1_c(\mathbb{A}^1, \bar{\mathbb{Q}}_{\ell})$ desaparece por dualidad de Poincaré como $H^1 (\mathbb{A}^1, \bar{\mathbb{Q}}_{\ell}) = 0$ . (Creo que $(a)$ se cumple por definición de $H^*_c$ y $(b)$ No puedo justificar). Así que, suponiendo que todos los eslabones de esta cadena se mantienen, tenemos $j_! = j_{!*}$ y no he encontrado mi ejemplo.
Pero creo que, si mi razonamiento es preciso para $C_0$ -que he encontrado un ejemplo en $j': C'_{ns, 0} \hookrightarrow C'_0$ . Repitiendo el argumento anterior, con $x' \in C'_0$ el punto de auto-intersección, $$ (R^1 j'_! \bar{\mathbb{Q}}_{\ell})_{\bar{x}'} = \lim_{\to} H^1 (U, j'_! \bar{\mathbb{Q}}_{\ell}) = \lim_{\to} H^1_c (U \times_{C'_0} C'_{ns, 0}, \bar{\mathbb{Q}}_{\ell}) \cong H^1_c (\mathbb{G}_{m}, \bar{\mathbb{Q}}_{\ell}). $$ En este caso, tenemos $H^1 (\mathbb{G}_{m}, \bar{\mathbb{Q}}_{\ell}) = \bar{\mathbb{Q}}_{\ell}(-1)$ (esto es lo que yo entiendo después de leer las notas de Milne y de Jong sobre cohomología étale), y entonces $(R^1 j'_! \bar{\mathbb{Q}}_{\ell})_{\bar{x}'} = \bar{\mathbb{Q}}_{\ell}(1) \ne 0$ . Puesto que ahora hemos determinado que $j'_!$ no es exacta, tenemos que calcular ${}^p j'_!$ , ${}^p j'_*$ y, por último, calcula $j'_{!*}$ . ¿Debo seguir adelante? ¿Voy por buen camino? ¿He cometido errores evidentes? ¿Hay alguna razón $(b)$ debe mantener? ¿Qué puedo leer para acelerar mi progreso en estas cuestiones? He leído BBD y Kiehl-Weissauer, y un par de notas menos formales sobre las poleas perversas, y he visto muy pocos ejemplos en detalle. Reconozco que no he leído toda la bibliografía, así que ¿alguien sabe dónde debería mirar a continuación?
