¿Por qué $n$ ceros añadidos al final de un número cuando se multiplica por $10^n$ ?

Question

Tomemos un ejemplo sencillo en el que $n=1$ . Cuando un número de un solo dígito, por ejemplo $a$ se multiplica por $10^1$ la respuesta es " $a0$ ". Si un número es $a_1a_2a_3\dots a_k$ multiplicando por $10^1$ da " $a_1a_2a_3\dots a_k0$ ".

Si el número se multiplica por $10^2=100$ entonces hay $2$ ceros al final. Siguiendo el mismo patrón, si un determinado número con cualquier parte decimal se multiplica por $10^n$ hay $n$ ceros al final.

Todo esto es super $^\infty$ fácil y obvio, pero ¿existe alguna razón aún más sencilla o algo intuitiva por la que todos estos ceros estén simplemente "pegados" al número, una explicación que sea adecuada para un niño pequeño novato en Matemáticas?

En mi opinión, no existe una explicación adecuada que sea lo suficientemente "sencilla" para que la entienda un niño. Exceptuando la cláusula "apto para novatos", ¿hay alguna interpretación interesante de la multiplicación con potencias de $10$ ?

Si interpretamos la multiplicación como una "suma repetitiva", por ejemplo $a \times b$ es sólo $\underbrace {a+a+\dots +a}_{\text{b times}}$ entonces tampoco es muy "intuitivo" por qué de repente aparece un cero de la nada cuando $b=10^c \,\,;c \in \mathbb{N}$ .

Espero que esta pregunta elemental no sea demasiado "off-topic" para este sitio web. Creo que surgirá algo constructivo como resultado del debate sobre esta cuestión.

Gracias por adelantado.

Answer 1

Este tipo de patrones se producen debido a la base del sistema numérico utilizado. Por ejemplo, en binario multiplicar por 2 es simplemente añadir un cero al final de la cadena de bits. De hecho, en algunos lenguajes de programación, se pueden realizar desplazamientos de bits para multiplicar o dividir por una potencia de 2, ya que es más rápido que realizar una multiplicación o división.

En el sistema de base 10, las potencias de 10 añaden ceros al final de un multiplicando. Esto es simplemente un producto de utilizar 10 como base de nuestro sistema numérico. Reconocer el resultado tal y como lo has expresado en tu pregunta es en realidad un atajo para realizar la multiplicación, y entender cómo funciona es la base para utilizar la notación científica.

En cuanto a enseñárselo a un niño, los programas bien razonados que enseñan matemáticas y preparan a los niños para matemáticas superiores (en Estados Unidos, esto se llama Common Core State Standards, o CCSS) muestran estos atajos a los alumnos y les hacen practicarlos, para reforzar su comprensión del sistema de base diez. Por ejemplo, en 3º de primaria, el CCSS quiere que los alumnos

Multiplicar números enteros de una cifra por múltiplos de 10 en el intervalo 10-90 (p. ej, $9\times80$ , $5\times60$ ) utilizando estrategias basadas en el valor posicional y las propiedades de las operaciones. (CCSS 3.NBT.3)

Al principio, los alumnos harán la multiplicación a mano alzada, pero pronto verán un patrón. Y como conocen el producto de $9\times8$ por ejemplo, pronto verán que $9\times80=9\times8\times10=72\times10=720$ y ser capaz de hacerlo en un solo paso (eso es lo que la norma quiere decir con "estrategias basadas en el valor posicional y las propiedades de las operaciones" -- aquí la propiedad es la asociatividad).

Answer 2

En mi opinión, no existe una explicación adecuada que sea lo suficientemente "sencilla" para que la entienda un niño.

El " multiplicar por $10$ regla " es un artefacto de la base- $10$ (decimal), y es una consecuencia directa del hecho de que el siguiente número después de $9$ es $10\,$ . A los niños se les enseña pronto que contar vale:

$$ 1\,, \;2\,, \;3\,, \;4\,, \;5\,, \;6\,, \;7\,, \;8\,, \;9\,, \;\color{red}{10} $$

Esto hace intuitivamente obvio que añadir $1$ diez veces es igual a $10\,$ :

$$ \underbrace{1\, + \,1\, + \,1\, + \,1\, + \,1\, + \,1\, + \,1\, + \,1\, + \,1\, + \, 1}_{\text{10 times}} \, = \, 10 $$

Ahora considere que $a = \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{\text{a times}}\,$ . Entonces multiplicando $a$ por $10$ se puede pensar como:

$$ \begin{align} & \underbrace{\underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{\text{a times}} \;+\; \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{\text{a times}} + \cdots \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{\text{a times}}}_{\text{10 times}} \\[5px] =\; & \underbrace{\underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{\text{10 times}} \;+\; \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{\text{10 times}} + \cdots \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{\text{10 times}}}_{\text{a times}} \\[5px] =\; & \underbrace{\;10 \;+\; 10 \;+\; \cdots \;+\; 10}_{\text{a times}} \\[5px] \end{align} $$

Esta última forma hace algo más evidente que una adición similar a $a = \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{\text{a times}}\,$ da $10\,a = \underbrace{10 + 10 + \cdots + 10}_{\text{a times}}\,$ y como el lado derecho tiene un $0$ al final de cada trimestre, el LHS será el número original con un extra $0$ al final.

Una vez realizada la multiplicación por $10$ se entiende y se acepta, la norma para $10^n$ se hace evidente por repetición (más formalmente, por inducción).