Existen $n$ familias con $m$ miembros sentados en una mesa circular. ¿Cuál es el número esperado de personas "felices"?

Question

Existen $n$ familias con $m$ miembros sentados en una mesa circular. Alguien es feliz si está sentado al lado de un miembro de la familia. ¿Cuál es el número esperado de personas felices?

Lo que hice: dejar que $X$ sea el número de personas felices. Entonces $X=\sum_{i=1}^{nm} \chi_i$ donde $\chi_i$ es $1$ si la persona $i$ es feliz y $0$ si no. Entonces $E(X)=\sum_{i=1}^{nm} E(\chi_i)$ . Podemos calcular $E(\chi_i)=P(\text{person } i\text{ is happy})=1-\frac{nm-(m-1)}{nm-1}\frac{nm-(m-1)-1}{nm-2}$ . Entonces simplemente sumamos desde $i=1$ a $nm$ .

¿Es correcto? Parece fuera de lugar porque las probabilidades son dependientes.

Answer 1

Creo que $$E(\chi_i) = 1-{{nm-m\choose2}\over{nm-1\choose2}}={nm-m\over nm-1}\cdot {nm-m-1\over nm-2}$$ En el numerador, debemos elegir $2$ que no estén en persona $i$ de la familia. Hay $nm-m$ esas personas.

Aparte de eso, su cálculo es correcto. La linealidad de las expectativas no depende de la independencia de los sucesos. (Si piensas en la definición de expectativa como una integral, esto es obvio).