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¿Es la superficie $z=\ln \cos x-\ln \cos y$ ¿Mínimo?

¿Es la superficie $z=\ln \cos x-\ln \cos y$ ¿Mínimo?

He encontrado las derivadas parciales:

$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\mathrm{tg}x,\frac{\partial z}{\partial y}=\mathrm{tg}y,\frac{\partial ^2z}{\partial x^2}=-\mathrm{sec}^2x,\frac{\partial ^2z}{\partial y^2}=\mathrm{sec}^2y$$

Después utilicé las fórmulas para la curvatura principal:

$$E=1+\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )^2=1+\mathrm{tg}^2x=\mathrm{sec}^2x$$ $$F=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y}=-\mathrm{tg}x\mathrm{tg}y$$ $$G=1+\left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )^2=1+\mathrm{tg}^2y=\mathrm{tg}^2y$$ $$L=\frac{\partial ^2z}{\partial x^2}:E=-\frac{\mathrm{sec}^2x}{\mathrm{sec}^2x}=-1$$ $$M=\frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}:E=0, \; \frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}=0$$ $$N=\frac{\partial ^2z}{\partial y^2}:G=\frac{\mathrm{sec}^2y}{\mathrm{sec}^2y}=1$$

La curvatura media se calcula del siguiente modo $$H=\frac{k_1+k_2}{2}\Rightarrow k_1,k_2=\frac{L+N}{2}\pm \sqrt{\left ( \frac{L-N}{2} \right )^2+M}$$

¿He utilizado las fórmulas correctamente? Creo que he cometido un error en el cálculo o en la propia fórmula, ¿quizás la fórmula de la curvatura media es diferente?

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Goran Butković Puntos 24

Puede utilizar esta fórmula para calcular la curvatura media:

$H = -\frac{1}{2}\frac{\left\|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\right\|}{\left\|\frac{\partial^2\mathbf{r}}{\partial r^2}\right\|} \nabla^2 r^2$

y puedes dejar que tus funciones sean funciones de la variable compleja $z$ .

Dado que su ecuación satisface la ecuación de Laplaciano:

$\nabla^2 z = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0$

usted consigue eso

$H = -\frac{1}{2}\frac{\left\|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\right\|}{\left\|\frac{\partial^2\mathbf{r}}{\partial r^2}\right\|}0 = 0$ .

Como toda superficie que tiene curvatura media cero es una superficie mínima, eso debe significar que la superficie de tu función es una superficie mínima.

Buena suerte.

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