El uso de la derivada direccional en esta prueba que $\operatorname{O}(n)$ es un múltiple

Question

El siguiente es un extracto de una prueba de que el grupo ortogonal $\operatorname{O}(n)$ es un múltiple

Sea $f: \mathcal{M} \simeq \mathbb{R}^{n^2}\to \mathcal{S} \simeq \mathbb{R}^{\frac{n(n+1)}{2}}$ donde $A \mapsto AA^T$ . Esta función toma una matriz $A$ y la asigna a la matriz simétrica $AA^T$ . Tenemos $f^{-1}(\{I\}) = \operatorname{O}(n)$ . Demostraremos que $I$ es un valor regular de $f$ . Primero calcule la derivada $df(A)(H) = \lim_{h \to 0} \frac{f(A + hH) - f(A)}{h} = AH^T + HA^T$ .

¿Por qué calculamos el derivada direccional de $f$ a lo largo del vector $H$ en lugar de calcular la matriz jacobiana? Para demostrar que $I$ es un valor regular tenemos que seguir y demostrar que la diferencial $df(A)$ es suryectiva para toda matriz $A \in \operatorname{O}(n)$ . Podemos obtener este resultado dejando que $M = AS/2$ para una simetría arbitraria $S \in \mathcal{S}$ e informática $df(A)(M)$ . Esta parte es bastante sencilla, pero ¿por qué funciona? ¿Coincide de alguna manera la diferencial con la derivada direccional?

Answer 1

Estás diciendo cómo $df_A$ actúa sobre vectores. Está estableciendo el derivado no sólo la derivada direccional. Calcular la matriz jacobiana sería engorroso y, en cierto sentido, inútil. Así que sabemos cómo actúa la propia derivada: toma $H \mapsto AH^T+HA^T$ .

Tal vez una mejor manera de exponer esto sería calcular explícitamente de la siguiente manera:

$$f(X+H)=(A+H)(A+H)^T=(A+H)(A^T+H^T)=AA^T+AH^T+HA^T+HH^T,$$

donde el último término es $o(H)$ y el término "medio" es claramente lineal.

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Nótese, sin embargo, que en la forma en que lo hace el texto hay algunos detalles ocultos. En realidad, el texto sólo computa las derivadas direccionales. Calculando las "derivadas direccionales en la dirección de cada vector" se obtiene la derivada si la función es diferenciable. Por lo tanto, debe justificar que de alguna manera, de lo contrario hay lagunas.